编写算法求一元多项式累加的值

我可以回答这个问题。编写算法求一元多项式累加的值可以使用Horner算法，该算法可以在O(n)的时间内计算多项式的值。具体实现可以参考以下伪代码：

function horner(poly, x):
n = length(poly)
result = poly[n]
for i from n-1 down to 0 do:
result = result * x + poly[i]
return result

其中，poly是多项式系数的数组，x是要计算的值。

相关问题

用C++编写算法，输入整数n(1<=n<=1000)，x(1<=x<=1000)和ai（i=0,1,2,3，…n）的值，设计时间复杂度小于O(n2)的算法，求一元多项式 的值

在C++中，为了计算一元多项式`P(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^n`的值，你可以利用二分查找的思想，因为对于每个系数`a_i`，实际上只关心它对应的`x^(i)`项。由于指数`i`不会超过`n`，所以我们可以用`log n`的时间复杂度来找到`x^i`的位置。这是一种称为“快速幂”（Fast Exponentiation）的技术，可以将乘法运算的时间复杂度降低到对数级别。

以下是简单的步骤：

1. 定义一个函数`fastPower(x, n)`用于计算`x`的n次方，通过迭代实现快速幂，时间复杂度为`O(log n)`。
2. 再定义一个函数`evaluatePolynomial(a, n, x)`接受数组`a`、长度`n`以及变量`x`，遍历数组，每次将当前`x`值乘以前面各项的系数并累加起来，同时利用`fastPower(x, i)`来计算对应指数项。

下面是基本的伪代码实现：

double fastPower(double base, int exponent) {
    if (exponent == 0) return 1;
    double result = fastPower(base, exponent / 2);
    result *= result; // 如果是偶数次方
    if (exponent % 2) result *= base; // 如果是奇数次方
    return result;
}

double evaluatePolynomial(double* coefficients, int n, double x) {
    double sum = coefficients[0];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        sum += coefficients[i] * fastPower(x, i);
    }
    return sum;
}

运用c++编写程序实现一元多项式的创建以及两个一元多项式相加和相乘的操作。

在C++中，我们可以使用结构体（struct）和函数来实现一元多项式的操作。这里简述一下基本步骤：

首先，定义一个一元多项式的结构体，包含系数数组和次数信息：

#include <vector>

// 定义多项式项
struct PolynomialTerm {
    double coefficient;
    int exponent;
};

// 定义多项式类
class UnivariatePolynomial {
private:
    std::vector<PolynomialTerm> terms; // 系数向量

public:
    // 构造函数，添加默认项0x0^0
    UnivariatePolynomial() { terms.push_back({0, 0}); }

    // 添加新的项
    void addTerm(double coefficient, int exponent) {
        terms.push_back({coefficient, exponent});
    }

    // 加法操作
    friend UnivariatePolynomial operator+(const UnivariatePolynomial& p1, const UnivariatePolynomial& p2);
};

接着，实现加法操作（`operator+`），将两多项式的项合并，并对系数求和：

UnivariatePolynomial operator+(const UnivariatePolynomial& p1, const UnivariatePolynomial& p2) {
    UnivariatePolynomial result = p1;

    for (const auto& term : p2.terms) {
        if (term.exponent == 0 && term.coefficient == 0)
            continue; // 忽略常数项0
        result.terms.push_back({result.terms.back().coefficient + term.coefficient, term.exponent});
    }

    return result;
}

对于乘法操作，可以先转换为系数数组，然后通过逐位相乘并累加的方式计算新多项式：

// 高斯乘法算法简化版本
std::vector<PolynomialTerm> multiply(const UnivariatePolynomial& p1, const UnivariatePolynomial& p2) {
    std::vector<PolynomialTerm> result(0); // 初始化结果多项式的长度为p1和p2最高次幂之和加1
    for (int i = 0; i <= p1.terms.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j <= p2.terms.size(); ++j) {
            if (i + j > result.size())
                break;
            double coef = p1.terms[i].coefficient * p2.terms[j].coefficient;
            if (coef != 0)
                result.insert(result.begin() + i + j, {coef, i + j});
        }
    }
    return result;
}

// 实现乘法操作，注意友元函数
UnivariatePolynomial operator*(const UnivariatePolynomial& p1, const UnivariatePolynomial& p2) {
    return UnivariatePolynomial(multiply(p1, p2));
}