仿射变换和双线性变换公式的含义

仿射变换是指在平面上将一个图形进行平移、旋转、缩放和剪切等变换操作，从而得到一个新的图形。它可以用矩阵乘法来表示，其公式为：

$$
\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}
$$

其中，$(x,y)$为原始图形中的点坐标，$(x',y')$为变换后的图形中的点坐标，$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$为缩放、旋转和剪切的系数，$t_x,t_y$为水平和竖直方向的平移量。

双线性变换是指在平面上根据四个顶点的坐标和对应的映射点坐标，对图形进行变换操作。它的公式为：

$$
\begin{aligned}
f(x,y) &= \frac{1}{(x_2 - x_1)(y_2 - y_1)}[(x_2 - x)(y_2 - y)f(Q_{11}) \\
&+ (x - x_1)(y_2 - y)f(Q_{21}) + (x_2 - x)(y - y_1)f(Q_{12}) \\
&+ (x - x_1)(y - y_1)f(Q_{22})]
\end{aligned}
$$

其中，$(x,y)$为原始图形中的点坐标，$Q_{11},Q_{12},Q_{21},Q_{22}$为四个顶点的映射点坐标，$f(Q_{ij})$为对应的函数值。双线性变换可以用来对图像进行扭曲变换、透视变换等操作。