sin(x+pai/2)和cos(x-pai/2)怎么从几何角度上去判断
时间: 2024-04-18 12:27:46 浏览: 25
从几何角度来判断,函数sin(x+π/2和cos(x-π/2)代表了在单位圆上的角度变化。
对于sin(x+π/2)来说,这个函数表示原始角度x向右平移π/2个单位,即原始角度x在单位圆上顺时针旋转π/2个单位。因此,sin(x+π/2)代表了原始角度x的余弦值,即cos(x)。
对于cos(x-π/2)来说,这个函数表示原始角度x向左平移π/2个单位,即原始角度x在单位圆上逆时针旋转π/2个单位。因此,cos(x-π/2)代表了原始角度x的正弦值,即sin(x)。
简而言之,sin(x+π/2)等于原始角度x的余弦值,而cos(x-π/2)等于原始角度x的正弦值。这是根据单位圆上角度的性质得出的结论。
相关问题
计算ln(1+1/x)/(sinx*(cos2x+1))的不定积分
首先,化简被积函数:
ln(1 1/x) = ln(x/(x-1)) = ln x - ln(x-1)
cos2x 1 = (1 + cos2x)/2 = (1 + 2cos2x - 1)/2 = cos2x + 1/2
因此,被积函数可以写成:
(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))
接下来,分部积分法:
设f(x) = ln x - ln(x-1),g(x) = 1/(sinx*(cos2x + 1/2))
f'(x) = 1/x - 1/(x-1),g'(x) = (-sinx*cos2x - sinx)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)
积分式可以写成:
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx
计算f(x)g(x):
f(x)g(x) = (ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))
计算∫g(x)f'(x)dx:
∫g(x)f'(x)dx = ∫(-sinx*cos2x - sinx)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)*(1/x - 1/(x-1))dx
化简:
∫g(x)f'(x)dx = ∫(-cos2x - 1/2)/(sinx*(cos2x + 1/2)^2)dx + ∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx
对于第一个积分,令u = cos2x + 1/2,du = -2sin2xdx,得到:
∫(-cos2x - 1/2)/(sinx*(cos2x + 1/2)^2)dx = -∫du/u^2 = 1/u + C = 2/(2cos2x + 1) + C
对于第二个积分,可以使用三角恒等式sin2x = 2sinx*cosx:
∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx = ∫(cos2x + 1/2)/(2sinx*cos2x)^2*(2cosx)dx
令u = cos2x,du = -sin2xdx,得到:
∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx = -1/sin2x + ∫du/(2u^2) = -1/(2sinxcos2x) + 1/(4cos2x) + C
将f(x)g(x)和∫g(x)f'(x)dx代入分部积分公式,得到:
∫(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))dx = (ln x - ln(x-1))*[2/(2cos2x + 1)] - [2/(2sinxcos2x) - 1/(4cos2x)] + C
化简可得:
∫(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))dx = ln(x*(2cos2x + 1)/(2sinxcos2x*(x-1))) + 1/(4cos2x) + C
因此,原式的不定积分为:
ln(x*(2cos2x + 1)/(2sinxcos2x*(x-1))) + 1/(4cos2x) + C
sin2x+10和cos2x的拉普拉斯变换是什么
首先,我们需要知道拉普拉斯变换的定义:
$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$$
其中,$s$ 是一个复数。
对于 $sin2x+10$,我们可以利用三角恒等式将其表示为:
$$sin2x+10=sin(2x)+sin(0)+10cos(0)$$
然后,我们可以利用以下两个拉普拉斯变换公式:
$$\mathcal{L}\{sin(ax)\}=\frac{a}{s^2+a^2}$$
$$\mathcal{L}\{cos(ax)\}=\frac{s}{s^2+a^2}$$
来求得 $sin2x+10$ 的拉普拉斯变换:
$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{sin2x+10\}&=\mathcal{L}\{sin(2x)+sin(0)+10cos(0)\} \\ &=\mathcal{L}\{sin(2x)\}+\mathcal{L}\{sin(0)\}+10\mathcal{L}\{cos(0)\} \\ &=\frac{2}{s^2+4}+\frac{1}{s}+\frac{10}{s} \\ &=\frac{2}{s^2+4}+\frac{11}{s} \end{aligned}$$
对于 $cos2x$,我们可以利用以下拉普拉斯变换公式:
$$\mathcal{L}\{cos(ax)\}=\frac{s}{s^2+a^2}$$
来求得其拉普拉斯变换:
$$\mathcal{L}\{cos2x\}=\frac{s}{s^2+4}$$
因此,$sin2x+10$ 和 $cos2x$ 的拉普拉斯变换分别为 $\frac{2}{s^2+4}+\frac{11}{s}$ 和 $\frac{s}{s^2+4}$。