0/0型等价无穷小 e^x-e^-x
时间: 2023-10-23 12:03:39 浏览: 191
我们将分析0/0型等价无穷小e^x-e^-x。
首先,我们需要将表达式化简为一个更容易分析的形式。我们利用指数函数的性质e^a*e^b=e^(a+b)来重写这个表达式:
e^x-e^-x = e^x(1-e^-2x)。
现在,我们观察括号中的部分:1-e^-2x。
当x接近无穷大时,e^-2x将趋近于0,因为指数函数在无穷大下的极限为0。因此,1-e^-2x将近似等于1。
接下来,我们继续观察e^x(1-e^-2x)。
对于无穷大的x,e^x也是无穷大。因此,e^x(1-e^-2x)也可以看作是0/0型等价无穷小。
现在,我们可以使用泰勒级数展开来近似计算0/0型等价无穷小。根据泰勒级数展开,我们有:
e^x ≈ 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...
将这个展开式代入e^x(1-e^-2x),我们可以得到:
e^x(1-e^-2x) ≈ (1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...)(1 - (x^2/2) + (x^4/4!) - ...)
将这个展开式化简,我们可以得到:
e^x(1-e^-2x) ≈ (x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...) - (x^3/2) - (x^5/4!) + ...
这个化简后的表达式是一个无穷级数,其中每一项都包含一个x的幂次。当x越来越大时,高阶项的影响会逐渐减小,只有低阶项对结果有显著贡献。因此,我们可以将该表达式近似为:
e^x(1-e^-2x) ≈ x。
所以,0/0型等价无穷小e^x-e^-x的近似值为x。
相关问题
x-sinx的等价无穷小为什么是1/6*x^3]
根据泰勒公式,当x趋近于0时,可以将函数x-sin(x)展开为其在x=0处的泰勒多项式:
x-sin(x) = x - (x - x^3/3! + x^5/5! - ...) = x^3/3! - x^5/5! + ...
因为x^3比x^5小,当x趋近于0时,只考虑其一阶项,即
x-sin(x) ≈ x^3/3!
因此,x-sin(x)的等价无穷小为1/6*x^3。
为什么x-ln(1+x)的等价无穷小是1/2x^2
我们可以使用泰勒公式将x-ln(1+x)展开成幂级数:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...
我们知道,当x接近0时,高阶次幂的项会变得非常小,可以被忽略。因此,我们可以采用只考虑前两项的方式近似表示。
x-ln(1+x) ≈ x - (x^2)/2
将其写成等式形式:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + o(x^2)
其中,o(x^2)表示比x^2更高阶次的幂级数。因此,我们可以得到:
x-ln(1+x) = 1/2x^2 + o(x^2)
因为当x趋近于0时,o(x^2)远比1/2x^2小,可以被认为是等价于0的无穷小,因此:
x-ln(1+x) ~ 1/2x^2
改写成等式形式就是:
lim(x→0) (x-ln(1+x))/x^2 = 1/2
这就证明了1/2x^2是x-ln(1+x)的等价无穷小。