0/0型等价无穷小 e^x-e^-x

我们将分析0/0型等价无穷小e^x-e^-x。

首先，我们需要将表达式化简为一个更容易分析的形式。我们利用指数函数的性质e^a*e^b=e^(a+b)来重写这个表达式：

e^x-e^-x = e^x(1-e^-2x)。

现在，我们观察括号中的部分：1-e^-2x。

当x接近无穷大时，e^-2x将趋近于0，因为指数函数在无穷大下的极限为0。因此，1-e^-2x将近似等于1。

接下来，我们继续观察e^x(1-e^-2x)。

对于无穷大的x，e^x也是无穷大。因此，e^x(1-e^-2x)也可以看作是0/0型等价无穷小。

现在，我们可以使用泰勒级数展开来近似计算0/0型等价无穷小。根据泰勒级数展开，我们有：

e^x ≈ 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...

将这个展开式代入e^x(1-e^-2x)，我们可以得到：

e^x(1-e^-2x) ≈ (1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...)(1 - (x^2/2) + (x^4/4!) - ...)

将这个展开式化简，我们可以得到：

e^x(1-e^-2x) ≈ (x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...) - (x^3/2) - (x^5/4!) + ...

这个化简后的表达式是一个无穷级数，其中每一项都包含一个x的幂次。当x越来越大时，高阶项的影响会逐渐减小，只有低阶项对结果有显著贡献。因此，我们可以将该表达式近似为：

e^x(1-e^-2x) ≈ x。

所以，0/0型等价无穷小e^x-e^-x的近似值为x。