考研高数精华总结：函数、无穷小与极限方法详解

本资源是一份关于高等数学的考研知识点总结，由杨凯钧在2005年10月编辑。内容涵盖了函数概念的基础理论，如变上限积分表示的函数、无穷小的比较以及极限的计算方法。以下是对这些知识点的详细解析： 1. 函数的概念： - 变上限积分表示的函数：函数可以被定义为通过变上限积分表达，即一个函数y关于x的值可以通过对f(t)在x到某个区间上的积分得到，例如，y = ∫[0,x] f(t) dt，其中f(t)是连续的。 2. 无穷小的比较： - 无穷小阶次的判断：通过极限的比较来确定两个函数f(x)和g(x)的阶次，如f(x)是比g(x)高阶无穷小，记作[f(x)]o[g(x)] = 0，反之则为低阶。若lim(f/g) ≠ 0，它们是同阶无穷小；如果lim(f/g) = 1，则它们是等价无穷小。 3. 求极限的方法： - 基本运算和法则：利用极限的线性、加法、乘法、除法和指数幂规则，以及对数和三角函数的基本性质来求解极限。 - 准则和定理： - 单调有界准则：如果数列{x_n}单调有界，其极限存在；同样，如果数列满足上界或下界的条件，极限也存在。 - 夹逼定理：如果对于所有x，h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)，并且lim h(x) = lim g(x) = A，那么lim f(x) = A，即函数f(x)在区间内被两函数夹住，其极限等于两函数的极限。 4. 重要公式： - 三角函数极限：如lim (x->0) sin(x)/x = 1 和 lim (x->0) (e^x - 1)/x = 1。 - 自然对数极限：极限公式 e^(u/n) ≈ 1 + u/n 当n趋向于无穷大，这在微积分中非常关键，特别是在处理指数增长和自然对数关系时。 这份总结详尽地介绍了高等数学中函数概念和极限理论的基础内容，对考研考生理解和掌握考研数学中的极限和无穷小概念具有重要意义。