请详细解释t分布的概率密度函数，并对比其与标准正态分布的关系，尤其是对于不同样本量n时的变化趋势。

t分布的概率密度函数（PDF）是对称的，以自由度n为参数，其图形在自由度较低时呈现较宽的“钟形”，而随着自由度n的增加，其形状逐渐逼近标准正态分布的“尖峰”形态。具体来说，t分布的概率密度函数是：

参考资源链接：[t分布与标准正态分布的对比及统计学基础](https://wenku.csdn.net/doc/1i9oszy5h4?spm=1055.2569.3001.10343)

f(t) = Γ[(ν+1)/2] / [√νπΓ(ν/2)] * (1 + t^2/ν)^(-(ν+1)/2)

其中，Γ表示伽马函数，ν是自由度，t是随机变量。

t分布与标准正态分布之间的关系主要体现在自由度n的大小上。当n=1时，t分布的形状类似于双侧无限延伸的正态分布，但尾部略厚；随着n的增大，尾部逐渐变薄，接近标准正态分布。当n趋于无穷大时，t分布几乎与标准正态分布完全一致。这一变化的原因在于中心极限定理，即当样本量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。

在统计推断中，t分布在小样本情况下尤为重要。当总体标准差未知且样本量较小（n<30）时，t分布是计算均值置信区间和进行假设检验的理想选择。与标准正态分布相比，t分布考虑了样本标准差的不稳定性，从而提供了更合理的统计结论。

标准正态分布是一种特殊的t分布，其中自由度ν趋于无穷大，其均值为0，标准差为1。标准正态分布的概率密度函数为：

φ(z) = (1/√(2π)) * e^(-z^2/2)

在实际应用中，对于样本量较小且总体标准差未知的情况，应优先使用t分布进行统计推断。随着样本量的增大，t分布和标准正态分布之间的差异减小，当n较大时，可以使用标准正态分布作为近似，简化计算过程。

总之，t分布的概率密度函数与标准正态分布有着密切的联系，它们在统计学中的应用取决于样本量和总体标准差的已知性。对于深入理解和应用这两种分布，推荐参阅《t分布与标准正态分布的对比及统计学基础》一文，该文详细介绍了这两种分布的性质及其在统计推断中的应用，对于理解t分布的概率密度函数及其与标准正态分布的关系具有很大帮助。

参考资源链接：[t分布与标准正态分布的对比及统计学基础](https://wenku.csdn.net/doc/1i9oszy5h4?spm=1055.2569.3001.10343)