我们在课本上讨论的归并排序算法是一个两趟算法。设两个连接关系为 r1 和 r2,在基

于归并排序中，我们首先将原始数组分解成足够小的子数组，然后对这些子数组进行排序。接下来，我们将这些排好序的子数组合并成一个大的有序数组。

第一趟算法是将原始数组一分为二，然后对每个子数组继续一分为二，直到每个子数组只包含一个元素为止。然后，我们开始从最底层的子数组开始两两合并，直到整个数组合并完毕。

在合并的过程中，我们需要比较 r1 和 r2 的元素大小，并将较小的元素放入一个新的数组中。然后，继续比较 r1 和 r2 剩余的元素，并将较小的元素依次插入新数组中，直到所有元素都被合并到新数组中。这样，我们就完成了第一趟算法，得到了一个排好序的大数组。

第二趟算法是对已经排好序的大数组进行合并操作，将相邻的子数组两两合并，直到整个数组合并完毕。这样，最终得到的数组就是完全有序的。

归并排序算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是原始数组的大小。虽然归并排序算法的过程比较复杂，但它的稳定性和时间复杂度的优势使得它在实际中得到了广泛的应用，特别是在大规模数据的排序中。

相关问题

改进课本上的直接插入排序算法

改进课本上的直接插入排序算法可以使用希尔排序。希尔排序是一种基于插入排序的快速排序算法，它通过将待排序的数组分割成若干个子序列，对每个子序列进行插入排序，从而实现对插入排序性能的优化。具体来说，希尔排序的算法步骤如下：

1. 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
2. 按增量序列个数k，对序列进行k趟排序；
3. 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

下面是使用Python实现的希尔排序代码：

def shell_sort(arr):
    n = len(arr)
    gap = n // 2
    while gap > 0:
        for i in range(gap, n):
            temp = arr[i]
            j = i
            while j >= gap and arr[j - gap] > temp:
                arr[j] = arr[j - gap]
                j -= gap
            arr[j] = temp
        gap //= 2
    return arr

其中，arr为待排序的数组，n为数组长度，gap为增量序列。在每次排序中，根据增量序列将数组分割成若干个子序列，对每个子序列进行直接插入排序，最后得到有序的数组。

多维数组和广义表应用——参照课本P124、125实现稀疏矩阵的两种转置算法。

在C语言中，多维数组和广义表（也称为动态数组或链表）可以用来有效地处理稀疏矩阵。因为稀疏矩阵的主要特点是大部分元素为0，所以存储时通常不需要像常规矩阵那样占用大量空间。

**1. 用一维数组表示稀疏矩阵的转置（压缩存储）**

这种方法通常采用两个一维数组，一个存放行索引（下标），另一个存放对应的值。对于原矩阵中的元素A[i][j]，在转置后的矩阵中，其值放在新的数组中，位置是(A[j])[i]。课本可能建议使用哈希表或位图辅助查找，以便快速找到非零元素的位置。

typedef struct {
    int *row_indices;
    int *col_values;
    int row_count; // 原矩阵的行数
    int col_count; // 原矩阵的列数
} SparseMatrix;

// 转置函数
void transposeSparse(int **sparse, SparseMatrix *transpose) {
    for (int i = 0; i < sparse[0]->col_count; i++) {
        for (int j = 0; j < sparse->row_count; j++) {
            if (sparse[j][i]) { // 找到非零元素
                transpose->row_indices[transpose->row_count++] = i;
                transpose->col_values[transpose->row_count - 1] = sparse[j][i];
            }
        }
    }
}

**2. 使用广义表（动态数组）实现稀疏矩阵转置**

这里你可以用链表来表示每个元素，节点包含值、行号和列号。转置就是构建一个新的链表，其中原来的列成为新的行，反之亦然。

typedef struct Node {
    int value;
    int row;
    int col;
    struct Node* next;
} Node;

typedef struct {
    Node* first;
    int row_count;
    int col_count;
} SparseList;

// 转置函数
void transposeSparseList(SparseList *sparse, SparseList *transpose) {
    SparseList temp;
    for (Node *node = sparse->first; node != NULL; node = node->next) {
        transpose->first = createNode(node->col, node->value, transpose->first);
    }
    transpose->row_count = sparse->col_count;
    transpose->col_count = sparse->row_count;
}

// 创建新节点的辅助函数
Node* createNode(int row, int value, Node* head) {
    Node* newNode = malloc(sizeof(Node));
    newNode->value = value;
    newNode->row = row;
    newNode->col = 0; // 新的列由旧的行决定
    newNode->next = head;
    return newNode;
}

**相关问题：**
1. 如何利用一维数组更高效地存储稀疏矩阵？
2. 在使用广义表时，如何保证转置后数据结构的合理性？
3. 为什么要分别处理非零元素和空元素？
4. 如何优化这两个方法的空间复杂度？