用Matlab绘制黎曼函数的代码

黎曼函数是一个经典的数学函数，通常定义为：

\[ R(x) =
\begin{cases}
0, & \text{if } x = \frac{p}{q} \text{ in lowest terms and } q \neq 0 \\
1, & \text{otherwise}
\end{cases}
\]

其中 $p$ 和 $q$ 是互质的整数。然而，在实际应用中，我们通常无法画出这个函数的完整图像，因为它的不连续点是稠密的。不过，我们可以绘制黎曼函数的一个近似版本，例如，考虑区间 $[0, 1]$ 上的黎曼函数的近似，并且只考虑分母小于某个值的有理数。

以下是使用MATLAB绘制黎曼函数近似的一个示例代码：

function r = riemann_function_approx(x, max_denominator)
    % 判断x是否为有理数，如果分母不超过max_denominator，则返回1，否则返回0
    r = 1;
    for d = 1:max_denominator
        p = round(x*d); % 分子
        if gcd(p, d) == 1 && abs(x - p/d) < 1e-10
            r = 0;
            break;
        end
    end
end

% 主函数
max_denominator = 10; % 设置最大分母为10，可以根据需要调整
x = linspace(0, 1, 1000); % 在区间[0, 1]上生成1000个点
y = arrayfun(@(x_val) riemann_function_approx(x_val, max_denominator), x);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Riemann Function Approximation');
xlabel('x');
ylabel('R(x)');
grid on;

这段代码定义了一个名为 `riemann_function_approx` 的函数，它会判断给定的 `x` 是否为一个分母不超过 `max_denominator` 的有理数。在主函数中，我们通过 `linspace` 生成一个区间 [0, 1] 上的等距点，并使用 `arrayfun` 函数对每个点调用 `riemann_function_approx` 来计算黎曼函数的值。最后，使用 `plot` 函数绘制这个近似函数的图像。

请注意，黎曼函数的这个近似版本并不是真正的黎曼函数，因为在任意区间内，有理数是稠密的，所以这个近似函数会有很多点被判断为有理数（即函数值为0），而实际上真正的黎曼函数在整个实数线上几乎处处不连续。