如何使用MATLAB来计算二阶系统的所有特征：根（Eigenvalues）、阻尼比（Damping Ratio）、无阻尼振荡频率（Undamped Natural Frequency）以及相应的响应曲线？

在MATLAB中，计算二阶系统（如弹簧-质量-damper系统）的特征包括根、阻尼比、无阻尼自然频率和响应曲线通常需要以下步骤：

1. **定义二阶微分方程**：
假设你有一个二阶线性常系数微分方程，形式为：

   m * dy'' + c * dy' + k * y = 0

其中 `m` 是质量，`c` 是阻尼系数，`k` 是刚度。你可以将其转换成标准形式：

   y'' + 2ζω_n*y' + ω_n^2*y = 0

其中 `ζ` 是阻尼比，`ω_n` 是无阻尼自然频率。

2. **计算特征值（根）**：
使用MATLAB的`eig`函数，可以找到系统的特征矩阵对应的特征值。对于上面的标准形式，特征方程为 `(λ^2 + 2ζω_n*λ + ω_n^2) = 0`，解这个二次方程得到两个实数根（即阻尼振动的频率，可能是一对复共轭数，表示衰减的振动）。

3. **确定阻尼比（Damping Ratio）**：
阻尼比 ζ 可以通过特征值计算得出，对于一对复共轭根 `r ± jω_d`，阻尼比 ζ 为 `ζ = (ω_d / ω_n)`，其中 `ω_d` 是虚部（衰减角速度）。

4. **计算无阻尼自然频率（Undamped Natural Frequency）**：
对于非对称的实数根，较大的根就是无阻尼自然频率 `ω_n`；对于一对共轭复根，它们的模长 `sqrt(Re(r)^2 + Im(r)^2)` 等于无阻尼自然频率。

5. **绘制响应曲线**：
可以使用MATLAB的`ode45`或其他数值积分函数来求解微分方程，给定初始条件，然后画出位移（y vs 时间），速度（dy/dt vs 时间）或加速度（y'' vs 时间）的图形。这将展示系统如何随着时间演化。

6. **示例代码**：

   function [r, zeta, wn] = analyze_2nd_order_system(m, c, k)
       % ... (编写并求解微分方程的部分)
       
       % 计算特征值
       sys = [0 -1/m; 1/m 0];
       roots = eig(sys);
       r = real(roots); % 实部作为根
       
       % 分析阻尼比和无阻尼自然频率
       if isreal(roots(1))
           wn = sqrt(k/m);
           zeta = 0;
       else
           wn = abs(roots(1));
           zeta = imag(roots(1))/wn;
       end
   
   % 求解并绘制响应
   [t, y] = ode45(@(t,y) second_order_response(t, m, c, k, y), [0, t_final], initial_conditions);
   plot(t, y);