一维卷积二维卷积的计算公式

### 一维卷积计算公式

对于一维离散信号 \( f[n] \) 和滤波器 \( g[n] \)，两者的一维卷积定义如下：

\[ (f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m]g[n-m] \]

这里，\( n \) 是输出序列的位置索引；\( m \) 表示滑动窗口中的位置偏移量。当应用于有限长度的向量时，通常会假设超出边界的值为零。

import numpy as np

def convolve_1d(signal, kernel):
    output_length = signal.size + kernel.size - 1
    result = np.zeros(output_length)
    
    for i in range(output_length):
        sum_val = 0
        for j in range(max(0, i+1-kernel.size), min(i+1, signal.size)):
            sum_val += signal[j]*kernel[i-j]
        result[i] = sum_val
    
    return result

### 二维卷积计算公式

给定一个输入矩阵 \( I(x,y) \) 和核函数（也称为滤波器或权重矩阵）\( K(u,v) \)，则它们之间的二维卷积可以表示成：

\[ C(x,y)=(I*K)(x,y)=\sum _{u}\sum _{v}{I}(x-u,\ y-v)\cdot {K}(u,\ v) \]

其中 \( u \) 和 \( v \) 分别代表内层求和变量，在实际应用中，核函数往往会被先水平垂直翻转再执行上述操作[^1]。

from scipy import signal

def convolve_2d(image, kernel):
    flipped_kernel = np.flipud(np.fliplr(kernel))
    result = signal.convolve2d(image, flipped_kernel, mode='same', boundary='fill')
    return result