AX=XB手眼标定推导

手眼标定是指在机器人系统中，通过测量机器人末端执行器（笛卡尔坐标系）与相机坐标系之间的变换关系，从而建立起机器人与相机之间的坐标转换模型。其中，AX=XB是手眼标定中最常用的一种形式，表示机器人末端执行器坐标系到相机坐标系的变换矩阵关系。

推导过程如下：

设机器人末端执行器坐标系到基坐标系的变换矩阵为 A，相机坐标系到目标标记物坐标系的变换矩阵为 B。

假设有 n 组已知的机器人末端执行器和相机之间的对应关系，即有 n 对变换矩阵：A1, B1; A2, B2; ...; An, Bn。

我们的目标是找到一个变换矩阵 X，使得对于任意的 i，都满足 AXi = XiB。

将 AXi = XiB 展开，得到 AXi = XBi，即 AXi-Bi = 0。

将 n 组方程整合成一个大矩阵形式：

⎡
⎢ AX1 - X1B1 ⎥
⎢ AX2 - X2B2 ⎥
⎢ ... ⎥
⎣ AXn - XnBn ⎦
= 0

上述矩阵等式可以通过最小二乘法求解，得到一个近似解 X。

然后，我们可以对 X 进行分解，得到两个变换矩阵 A' 和 B'，使得 X = A' * B'。

最后，我们可以将 A' 和 B' 分别转换为旋转矩阵 R 和平移向量 t，并求解出相机坐标系到机器人末端执行器坐标系的变换矩阵 T = [R, t; 0, 1]。

这样，我们就完成了手眼标定的推导过程，得到了机器人末端执行器与相机之间的坐标转换模型。

相关问题

AX=XB手眼标定具体解法

AX=XB是手眼标定问题中常见的形式，其中A和B分别表示机械臂和相机的变换矩阵，X表示待求解的手眼关系矩阵。手眼标定的目标是通过已知的机械臂末端姿态和相机观测到的物体姿态，来求解机械臂与相机之间的关系。

具体解法可以使用以下方法之一：

1. Tsai-Lenz 方法：这是最经典和常用的手眼标定方法之一。它基于相机和机器人末端执行器在同一个坐标系下的转换关系，通过最小二乘法来求解手眼关系矩阵X。Tsai-Lenz 方法的具体步骤包括采集一系列机械臂和相机的位姿数据，然后对数据进行处理和分析，并使用线性代数方法求解X。

2. Zhang 方法：这是另一种常用的手眼标定方法。它通过将AX=XB转化为齐次变换矩阵的形式，然后使用SVD（奇异值分解）来求解手眼关系矩阵X。Zhang 方法需要采集多组机械臂和相机的位姿数据，并对数据进行预处理以提高精度。

3. 耦合标定方法：这种方法结合了传统的Tsai-Lenz 方法和Zhang 方法，通过采集机械臂与相机同时运动的数据，来求解手眼关系矩阵X。这种方法可以进一步提高标定精度，并且对于机器人和相机之间的刚性约束更为适用。

这些方法都有详细的理论基础和实现步骤，具体选择哪种方法取决于应用需求和实际情况。需要注意的是，手眼标定是一个复杂的问题，精确度受到许多因素的影响，包括测量误差、系统误差、噪声等。因此，在实际应用中，需要综合考虑这些因素，并采取合适的校准策略来提高标定精度。

MATLAB手眼标定AX=XB

### MATLAB 中的手眼标定解决方案

对于手眼标定问题中的 \( AX=XB \) 方程，在 MATLAB 中可以采用多种方法实现求解。一种常见的方式是利用四元数表示旋转并结合线性最小二乘法计算变换矩阵 X 的最优估计。

#### 使用 Robotics System Toolbox 实现手眼标定

如果拥有 Robotics System Toolbox，则可以直接调用 `estimateHandEyeTransformation` 函数完成此操作：

% 假设 A 和 B 是已知的 n×4×4 齐次坐标下的位姿矩阵序列
transformation = estimateHandEyeTransformation(A, B);
T_hand_eye = transformation.T;

上述代码片段展示了如何通过内置函数快速获得手眼关系矩阵 T_hand_eye[^1]。

#### 自定义实现基于四元数的方法

当不依赖工具箱时，也可以手动编写程序来解决问题。下面给出了一种可能的做法：

function [R,t] = handeye_calib_quaternion(A,B)
    % 输入参数A和B分别为n*4*4大小的齐次转换矩阵数组
    
    % 提取旋转部分构建方程组
    RA = cellfun(@(x)x(1:3,1:3), num2cell(A, [1 2]), 'UniformOutput', false)';
    RB = cellfun(@(x)x(1:3,1:3)', num2cell(B, [1 2]), 'UniformOutput', false)';
    
    Qa = cat(3,RA{:});
    Qb = cat(3,RB{:});

    % 构建用于SVD分解的数据结构体
    M = [];
    for i = 1:size(Qa,3)
        qai = quatnormalize([trace(skew(-Qa(:,:,i)*Qb(:,:,i)))]);
        Mi = kron(qai,qai') - eye(4);
        M = blkdiag(M,Mi);
    end

    [~,~,V] = svd(M,'econ');
    qx = V(:,end);

    R = quatrotate(quatconj(qx'),eye(3));

    % 计算平移向量t
    t_sum = zeros(3,1);
    for j = 1:length(A)
       t_sum = t_sum + (inv(R)*(A(j)(1:3,4)-B(j)(1:3,4)));
    end
    t = mean(t_sum)/length(A);
end

这段自定义函数实现了从给定位姿集合 {Ai} 和 {Bi} 到相对应的手眼变换矩阵 R 和 t 的映射过程。