【问题描述】 小明最近对数列特别感兴趣，尤其想研究一个数列中有多少个长度为k的递增子序列。一个序列<a_1… a_n>的子序列定义为<a_(i_1 )…a_(i_l )>，其中1≤i_1≤i_l≤n。 如果a_(i_(j-1) )<a_(i_j ),且所有1<j≤l，则子序列<a_(i_1 )…a_(i_l )>为递增子序列。 小明想请你帮忙计算数列中长度为k的递增子序列个数。

【问题分析】
对于长度为k的递增子序列，可以通过动态规划来求解。定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以第i个元素结尾的长度为j的递增子序列的个数。那么dp[i][j]的计算方法如下：
1. 初始化dp数组为1，即每个元素都至少构成一个长度为1的递增子序列。
2. 对于第i个元素，遍历它前面的所有元素j，如果a[i] > a[j]，说明a[i]可以加入以a[j]结尾的递增子序列中，所以dp[i][k]可以累加dp[j][k-1]。
3. 最后，将dp数组中所有长度为k的递增子序列个数累加起来，即为所求结果。

【算法实现】

def countIncreasingSubsequences(arr, k):
    n = len(arr)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n)]
    
    # 初始化dp数组
    for i in range(n):
        dp[i][1] = 1
    
    # 计算dp数组
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j]:
                for l in range(2, k+1):
                    dp[i][l] += dp[j][l-1]
    
    # 统计长度为k的递增子序列个数
    count = 0
    for i in range(n):
        count += dp[i][k]
    
    return count

【示例测试】

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
k = 3
result = countIncreasingSubsequences(arr, k)
print(result)  # 输出：3

【算法复杂度】
该算法的时间复杂度为O(n^2 * k)，其中n为序列的长度，k为递增子序列的长度。