递增子序列问题小明最近对数列特别感兴趣，尤其想研究一个数列中有多少个长度为k的递增子序列。一个序列<a_1… a_n>的子序列定义为<a_(i_1 )…a_(i_l )>，其中1≤i_1≤i_l≤n。 如果a_(i_(j-1) )<a_(i_j ),且所有1<j≤l，则子序列<a_(i_1 )…a_(i_l )>为递增子序列。 小明想请你帮忙计算数列中长度为k的递增子序列个数。

要计算数列中长度为k的递增子序列个数，可以使用动态规划的方法来解决。下面是一个基于动态规划的示例代码：

def count_increasing_subsequences(nums, k):
    n = len(nums)
    # 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以nums[i]结尾的长度为j的递增子序列个数
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n)]

    # 初始化长度为1的递增子序列个数，每个元素本身就是一个长度为1的递增子序列
    for i in range(n):
        dp[i][1] = 1

    # 计算长度为k的递增子序列个数
    for i in range(1, n):
        for j in range(2, k+1):
            for m in range(i):
                if nums[m] < nums[i]:
                    dp[i][j] += dp[m][j-1]

    # 统计所有长度为k的递增子序列个数
    count = 0
    for i in range(n):
        count += dp[i][k]

    return count

# 示例输入数据
nums = [1, 2, 3, 4, 5]
k = 3

# 调用函数计算长度为k的递增子序列个数
count = count_increasing_subsequences(nums, k)
print("长度为{}的递增子序列个数：{}".format(k, count))

在这个示例代码中，我们使用一个二维数组dp来记录以每个元素结尾的不同长度的递增子序列个数。首先，初始化长度为1的递增子序列个数为1，因为每个元素本身就是一个长度为1的递增子序列。然后，使用三层循环来计算长度为k的递增子序列个数，其中外层循环遍历每个元素，中间层循环遍历长度大于等于2且小于等于k的递增子序列长度，内层循环遍历当前元素之前的所有元素，并根据递增条件更新递增子序列个数。最后，统计所有长度为k的递增子序列个数。

这个算法的时间复杂性为O(n^2 * k)，其中n是数列的长度，k是递增子序列的长度。空间复杂性为O(n * k)，用于存储dp数组。