小明最近对数列特别感兴趣，尤其想研究一个数列中有多少个长度为𝑘的递 增子序列。一个序列< 𝑎1 … 𝑎𝑛 >的子序列定义为< 𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑙 >，其中1 ≤ 𝑖1 ≤ 𝑖𝑙 ≤ 𝑛。 如果𝑎𝑖𝑗−1 < 𝑎𝑖𝑗 ,且所有1 < 𝑗 ≤ 𝑙，则子序列< 𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑙 >为递增子序列。 小明想请你帮忙计算数列中长度为𝑘的递增子序列个数。 【输入形式】 输入包含 1 组测试用例。每组测试用例中第一行包含两个数字𝑛和𝑘(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ≤ 100)，其中𝑛为数列长度，𝑘为要计算的递增子序列长度。 接下来一行包括𝑛个不同的整数𝑎𝑖(−10000 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 10000)，其中𝑎𝑖是数列中 的第𝑖个数字。 【输出形式】 对于每组测试用例，输出一行输入序列包含的长度为𝑘的递增子序列的数目。 【样例输入】 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【样例输出】 252 针对该问题，所设计的算法及该算法的时间和空间复杂性如下，代码用C++来编写

对于给定的数列，我们可以使用动态规划的方法来计算长度为𝑘的递增子序列个数。我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以第i个数结尾的长度为j的递增子序列个数。

初始化dp数组为1，因为每个数本身就是一个长度为1的递增子序列。然后我们从第2个数开始遍历数组，对于每个数𝑎𝑖，我们遍历之前的所有数𝑎𝑗，如果𝑎𝑖 > 𝑎𝑗，那么𝑎𝑖可以添加到以𝑎𝑗结尾的递增子序列中，所以dp[i][j] = dp[i][j] + dp[j][j-1]。

最后，我们遍历dp数组的最后一行，将所有长度为𝑘的递增子序列个数相加，即为所求的结果。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
    
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(k, 1));
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                for (int l = 1; l < k; l++) {
                    dp[i][l] += dp[j][l-1];
                }
            }
        }
    }
    
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count += dp[i][k-1];
    }
    
    cout << count << endl;
    
    return 0;
}

该算法的时间复杂度为O(n^2 * k)，空间复杂度为O(n * k)，其中n为数列长度，k为要计算的递增子序列长度。