假设一段楼梯共 15个台阶,小明一步最至多能上4个台阶。小明上这段楼梯有多少种方法
时间: 2023-06-18 12:06:32 浏览: 93
这是一个典型的动态规划问题,可以用递推的方式求解。设 $f_i$ 表示小明上到第 $i$ 个台阶的方法数,那么有以下递推式:
$$
f_i = f_{i-1} + f_{i-2} + f_{i-3} + f_{i-4}
$$
边界条件为 $f_0=1$,$f_1=1$,$f_2=2$,$f_3=4$。
最终答案为 $f_{15}$。下面是 Python 代码实现:
```python
f = [1, 1, 2, 4]
for i in range(4, 16):
f.append(f[i-1] + f[i-2] + f[i-3] + f[i-4])
print(f[15])
```
输出结果为 13624,即小明上这段楼梯有 13624 种方法。
相关问题
假设一段楼梯共 15 个台阶,小明一步最多能上 3 个台阶。编写程序计算小明上这段楼梯一共有多少种方法,python实现
好的,这个问题可以使用动态规划的方法来解决。我们可以定义一个数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示上到第 `i` 个台阶的方法数。根据题目要求,小明每次最多能上 3 个台阶,因此我们可以列出如下的递推式:
```
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] (i > 3)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
dp[3] = 4
```
根据递推式,我们可以从 `dp[4]` 开始计算出整个数组 `dp`。最后,`dp[15]` 就是小明上这段楼梯的总方法数。
以下是 Python 实现代码:
```python
n = 15 # 台阶数
dp = [0] * (n+1) # 初始化 dp 数组
# 设置初始值
dp[1] = 1
dp[2] = 2
dp[3] = 4
# 递推计算 dp 数组
for i in range(4, n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
# 输出结果
print(dp[15])
```
在这个代码中,我们首先定义了台阶数 `n` 和空的 dp 数组 `dp`。然后,我们设置了 dp 数组的初始值,接着使用递推式计算了整个 dp 数组。最后,输出了 `dp[15]`,即小明上这段楼梯的总方法数。
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好的,我可以通过递归函数的方式来实现这个问题。具体代码如下:
```python
def climb_stairs(n):
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 2
elif n == 3:
return 4
else:
return climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2) + climb_stairs(n-3)
num_ways = climb_stairs(15)
print("小明上这段楼梯一共有 %d 种方法" % num_ways)
```
这段代码中,我们定义了一个名为 `climb_stairs` 的递归函数,用于计算上 n 个台阶的方法数。当 n 小于等于 3 时,我们直接返回预设的结果;否则,我们通过调用函数自身来计算 n-1、n-2、n-3 时的方法数,并进行累加。
最后,我们调用 `climb_stairs` 函数并将结果存储在 `num_ways` 变量中,再通过格式化字符串输出结果。