设二进制对称信道每传输7位会随机出错1位，构造（7,4）汉明码的校验矩阵H，编程①得出相应的生成矩阵G，②输入8位二进制数据，利用G、H对其编、译码（给出x、c、r、s、e、cˆ）。

二进制对称信道的错误检测通常使用汉明码，其中(7,4)表示的是7位数据加上额外的3位用于纠错。汉明码的校验矩阵H通常是满秩的，对于(7,4)汉明码，可以构造一个如下的校验矩阵：

H = [
    [1, 0, 0, 1, 1, 0, 1],
    [0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
    [0, 0, 1, 1, 1, 0, 1]
]

生成矩阵G是通过将校验矩阵H转换得到的，它是一个行向量的集合，使得GH^T（转置）等于单位矩阵。对于(7,4)汉明码，我们可以计算出生成矩阵：

G = [
    [1, 0, 0, 0],          // 第一位是原始信息位
    [0, 1, 0, 0],          // 第二位是原始信息位
    [0, 0, 1, 0],          // 第三位是原始信息位
    [1, 1, 1, 0]           // 后面三位是校验位
]

至于编程部分，这里假设我们正在使用Python，可以这么操作：

import numpy as np

# 定义校验矩阵和生成矩阵
H = np.array([[1, 0, 0, 1, 1, 0, 1],
              [0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
              [0, 0, 1, 1, 1, 0, 1]])
G = np.array([[1, 0, 0, 0],
              [0, 1, 0, 0],
              [0, 0, 1, 0],
              [1, 1, 1, 0]])

# 假设我们要编码的数据为8位二进制字符串 x
x = '01011010'

# 将x扩展到7位并添加校验位
data_bits = list(x.zfill(7))
parity_bits = H.dot(data_bits)
combined_bits = data_bits + parity_bits

# 输出编好的二进制串（含校验位）
c = ''.join(map(str, combined_bits))

# 求解错误的位置，这里简化为检查是否有奇数个非零
error_positions = [i for i, bit in enumerate(combined_bits) if bit == '1']

# 如果有错误，我们可以尝试纠正，实际编程中需要更复杂的算法
if error_positions:
    corrected_data = [combined_bits[i] for i in range(len(combined_bits)) if i not in error_positions]
else:
    corrected_data = combined_bits

# 解码后的原始数据
x_recovered = ''.join(data_bits)

# 显示原始数据、编码数据、错误位置以及解码后的数据
s = "Original: {}, Encoded: {}, Errors at: {}, Decoded: {}".format(x, c, error_positions, x_recovered)
print(s)