15 11汉明码生成矩阵

汉明码生成矩阵是一个 $k \times n$ 的矩阵，其中 $k$ 表示消息位数，$n$ 表示编码后的总位数，$n = k + r$，$r$ 表示校验位数。

生成矩阵的构造方法是，将 $2^r$ 个校验位的位置用二进制表示，然后将每个二进制数的每一位作为矩阵的一行，最后再将矩阵的前 $k$ 行补上单位矩阵。

例如，当 $r=3$ 时，生成矩阵为：

$$
G = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$

其中，前 $k=4$ 行为单位矩阵，后 $r=3$ 行分别对应 $2^0=1$、$2^1=2$、$2^2=4$ 三个位置的校验位。