在进行非线性数据分类时，SVM核函数是如何工作的？请详细解释其背后的数学原理和计算步骤。

在处理非线性可分的数据集时，传统的支持向量机（SVM）可能会遇到挑战，因为其目标是找到一个最大间隔的超平面，将不同类别的样本分开。当数据不能通过线性超平面有效分离时，SVM的核函数技术显得尤为重要。核函数技术的核心在于通过一个非线性映射将原始数据映射到高维空间，在这个新的空间中，原本在低维空间线性不可分的数据可能变得线性可分。

参考资源链接：[机器学习计算实践：从KD树到SVM，解析算法解题步骤](https://wenku.csdn.net/doc/7go767b2ca?spm=1055.2569.3001.10343)

核函数技术的数学原理基于核技巧（kernel trick），它避免了显式地计算高维空间中的坐标，而是通过核函数直接在原始空间中计算高维空间中向量的内积。常见的核函数包括多项式核（Polynomial）、径向基函数核（Radial Basis Function, RBF，又称为高斯核）、Sigmoid核等。

以RBF核为例，其数学表达式为K(x, y) = exp(-γ||x - y||^2)，其中γ是核函数参数，x和y是数据点。RBF核可以将数据映射到无穷维空间中。在实际使用中，我们不需要显式地知道映射后的空间是什么样子，只需要计算核函数值即可。

计算步骤简述如下：
1. 选择合适的核函数及其参数，例如RBF核的γ。
2. 利用核函数计算训练样本之间的内积，构建核矩阵。
3. 将核矩阵引入到SVM的优化问题中，求解支持向量和相应的拉格朗日乘子。
4. 利用支持向量和拉格朗日乘子构建分类决策函数。

在核函数SVM中，分类决策函数具有以下形式：
f(x) = sign(∑αi yi K(xi, x) + b)
其中，α是拉格朗日乘子，xi是支持向量，b是偏置项，K是核函数。通过这个函数，即使在高维空间中，我们也可以对新样本x进行分类。

核函数技术使得SVM能够处理非线性问题，但同时也引入了新的挑战，比如参数选择和计算复杂度问题。《机器学习计算实践：从KD树到SVM，解析算法解题步骤》一书中提供了详尽的计算题和解答，深入探讨了SVM核函数的使用和理解，非常适合想要深入了解和实践SVM核函数技术的读者。

参考资源链接：[机器学习计算实践：从KD树到SVM，解析算法解题步骤](https://wenku.csdn.net/doc/7go767b2ca?spm=1055.2569.3001.10343)