求正态分布的先验分布
时间: 2024-01-13 22:03:53 浏览: 38
正态分布的先验分布通常是高斯分布,也称为正态分布。高斯分布是一种连续概率分布,其形状呈钟形曲线,具有单峰性和对称性。高斯分布的参数包括均值和标准差,可以通过最大似然估计或贝叶斯推断来确定。在贝叶斯推断中,高斯分布的先验分布可以通过选择适当的超参数来指定。例如,均值和标准差的先验分布可以分别选择为正态分布和逆Gamma分布。
相关问题
多元正态分布的共轭分布公式
多元正态分布的共轭分布是多元正态分布本身。具体地说,如果我们假设一个多元正态分布的先验分布是另一个多元正态分布,那么后验分布也将是一个多元正态分布。
假设我们有一个多元正态分布的先验分布,记作:
p(θ) = N(μ₀, Σ₀)
其中,θ是多元正态分布的参数,μ₀是均值向量,Σ₀是协方差矩阵。
现在,我们观测到一些数据,记作X。假设我们的似然函数为:
p(X|θ) = N(X|μ, Σ)
其中,μ是数据的均值向量,Σ是数据的协方差矩阵。
根据贝叶斯定理,我们可以计算后验分布:
p(θ|X) ∝ p(X|θ) * p(θ)
根据多元正态分布的性质,我们可以得到后验分布也是一个多元正态分布:
p(θ|X) = N(μ₁, Σ₁)
其中,μ₁和Σ₁可以通过计算得到。
需要注意的是,共轭先验仅在先验和似然函数具有相同的函数形式时才成立。对于多元正态分布来说,它的共轭先验也是多元正态分布。
正态分布贝叶斯估计推导
假设数据 $x_1,x_2,...,x_n$ 来自正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$,其中 $\sigma^2$ 已知。假设 $\mu$ 的先验分布是正态分布 $N(0,\tau^2)$,根据样本 $x_1,...,x_n$ 写出 $\mu$ 的贝叶斯估计。
首先,写出 $\mu$ 的似然函数 $L(\mu)$:
$$L(\mu) = p(x_1,...,x_n|\mu) = \prod_{i=1}^n p(x_i|\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
接下来,写出 $\mu$ 的先验分布 $p(\mu)$:
$$p(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\tau^2}} e^{-\frac{\mu^2}{2\tau^2}}$$
根据贝叶斯定理,$\mu$ 的后验分布为:
$$p(\mu|x_1,...,x_n) \propto p(x_1,...,x_n|\mu) p(\mu)$$
将似然函数和先验分布代入上式,得到:
$$p(\mu|x_1,...,x_n) \propto \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\tau^2}} e^{-\frac{\mu^2}{2\tau^2}}$$
取对数并忽略与 $\mu$ 无关的项,得到:
$$\ln p(\mu|x_1,...,x_n) \propto -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 - \frac{1}{2\tau^2} \mu^2$$
对上式求偏导数并令其等于 $0$,得到:
$$\mu_{\text{Bayes}} = \frac{\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n x_i}{\frac{1}{\sigma^2} n + \frac{1}{\tau^2}}$$
因此,$\mu$ 的贝叶斯估计为 $\mu_{\text{Bayes}}$。