动态规划悬线法的正确性证明
时间: 2024-04-30 15:16:32 浏览: 11
动态规划悬线法是一种常用的决最长公共子序列(LCS)问题的方法。它的正确性可以通过数学归纳法来证明。
首先,我们定义一个二维数组dp[i][j],其中dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的LCS的长度。
接下来,我们使用动态规划的思想来填充dp数组。具体步骤如下:
1. 初始化dp数组的第一行和第一列为0,即dp[j] = dp[i] = 0,其中0 <= i <= len(A),0 <= j <= len(B)。
2. 对于dp数组中的其他元素,根据以下规则进行填充:
- 如果A[i-1]等于B[j-1],则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
- 如果A[i-1]不等于B[j-1],则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
3. 最后,dp[len(A)][len(B)]即为字符串A和字符串B的LCS的长度。
接下来是正确性证明:
基础情况:
当i=0或j=0时,dp[i][j] = 0,这是显而易见的。
归纳假设:
假设对于任意的i < m 和 j < n,dp[i][j]都是正确的。
归纳步骤:
考虑dp[m][n],根据上述填充规则,有两种情况:
1. 如果A[m-1] + 1。根据归纳假设,dp[m-1][n-1]是正确的,所以dp[m][n]也是正确的。
2. 如果A[m-1]不等于B[n-1],则dp[m][n] = max(dp[m-1][n], dp[m][n-1])。根据归纳假设,dp[m-1][n]和dp[m][n-1]都是正确的,所以dp[m][n]也是正确的。
根据数学归纳法,可以得出动态规划悬线法的正确性证明。