IIR滤波器设计中的Butterworth滤波器及其特性

# 1. 引言

## 1.1 研究背景

在数字信号处理领域，滤波器是一种常见的工具，用于处理数字信号中的噪音和频率成分。IIR滤波器是一类重要的滤波器，具有较好的性能和灵活性。在设计IIR滤波器时，Butterworth滤波器因其平坦的幅频特性和无纹波的相位特性而备受青睐。

## 1.2 文章范围与目的

本文将重点介绍Butterworth滤波器的原理、设计方法和应用。通过深入探讨Butterworth滤波器的特性和工作原理，旨在帮助读者深入理解其在数字信号处理中的重要性及实际应用。

## 1.3 研究方法与数据来源

本文将采用文献综述的方法，结合实例分析和数学推导，并参考经典的数字信号处理教材和学术论文，以全面、客观地介绍Butterworth滤波器的相关知识和应用。

# 2. IIR滤波器基础知识

### 2.1 数字滤波器概述

在数字信号处理中，数字滤波器是一种可以改变信号频率特性的系统，通常用于去除噪音、提取感兴趣的信号成分或者改变信号频率响应。数字滤波器可以分为有限长冲击响应（FIR）滤波器和无限长冲击响应（IIR）滤波器两大类。

### 2.2 IIR滤波器概念与特点

IIR滤波器是指其冲激响应是无限长的一类数字滤波器。相比于FIR滤波器，IIR滤波器通过递归地使用其输出来产生滤波效应，因此具有更高的效率和更窄的过渡带。然而，IIR滤波器在实现时可能存在稳定性等方面的挑战。

### 2.3 Butterworth滤波器的位置与意义

Butterworth滤波器是一种常见的IIR滤波器，具有最大平坦的幅频响应特性。在滤波器的通带和阻带之间的过渡是非常平滑的，这使得Butterworth滤波器在许多应用中受到青睐。在接下来的章节中，我们将着重探讨Butterworth滤波器的原理、设计方法和应用。

# 3. Butterworth滤波器原理

Butterworth滤波器是一种常见的无限脉冲响应（IIR）滤波器，具有平滑的频率响应特性。它可以有效地滤除信号中的噪声，同时保持信号的重要频率成分。本章将介绍Butterworth滤波器的基本原理和特性。

#### 3.1 滤波器的传递函数

滤波器是一种能够改变信号频率特性的系统。它的输入是离散或连续时间的信号，通过一系列的数学运算后，产生输出信号。滤波器的传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系。

Butterworth滤波器的传递函数是一个有理函数，可以用多项式的比值表示。传递函数的分子和分母分别代表了滤波器的前向传递和反馈部分。

#### 3.2 构造Butterworth滤波器的特点

Butterworth滤波器的特点是在通带内具有最平坦的幅频特性，没有任何尖峰或波纹。这种平坦的特性使得Butterworth滤波器在许多信号处理应用中被广泛使用。

Butterworth滤波器的幅频特性随着阶数的增加而改变。阶数越高，滤波器的衰减率越大，同时通带内的幅频特性越平坦。

#### 3.3 Butterworth滤波器的频率响应

Butterworth滤波器的频率响应定义了滤波器在不同频率下的增益特性。频率响应通常以图形的形式表示，可以清晰地展示出滤波器的通带、阻带和过渡带。

在频率响应图中，我们可以看到Butterworth滤波器在通带内的增益是平坦的，而在阻带内呈现出衰减的特性。根据实际需求，可以选择合适的滤波器阶数和截止频率来调整频率响应。

总结起来，Butterworth滤波器是一种具有平坦幅频特性的IIR滤波器。它的特点是通带内没有波纹或尖峰，可以有效地滤除噪声并保留信号的重要频率成分。

# 4. Butterworth滤波器的设计方法

Butterworth滤波器是一种常用的IIR（Infinite Impulse Response）滤波器，能够实现平坦的频率响应和相位响应。本章将详细介绍Butterworth滤波器的设计方法，包括构造高通和低通滤波器、频率归一化和模拟原型滤波器以及构造不同阶数的Butterworth滤波器。

#### 4.1 构造高通和低通滤波器

Butterworth滤波器可以实现低通、高通、带通和带阻滤波等功能。对于高通滤波器而言，我们可以通过对低通滤波器的响应进行变换得到。

假设我们已经设计好一个$n$阶低通Butterworth滤波器的传递函数$H_l(s)$，则高通Butterworth滤波器的传递函数$H_h(s)$可以通过以下变换得到：