MATLAB线性方程组求解的应用场景：从工程到金融的广泛运用

# 1. MATLAB线性方程组求解概述

线性方程组求解是MATLAB中一项重要的功能，广泛应用于工程、金融等领域。MATLAB提供了丰富的求解器和函数，可以高效地求解各种线性方程组。

本章将介绍MATLAB线性方程组求解的概述，包括基本概念、求解方法和应用场景。通过深入了解这些基础知识，读者可以为后续章节中更深入的理论和实践应用打下坚实的基础。

# 2. MATLAB线性方程组求解理论基础

### 2.1 线性方程组的基本概念

线性方程组是一组包含未知数的线性方程。形式如下：

A * X = B

其中：

* **A** 是一个 m x n 矩阵，称为系数矩阵。
* **X** 是一个 n x 1 矩阵，称为未知数向量。
* **B** 是一个 m x 1 矩阵，称为常数向量。

一个线性方程组可以有以下几种类型：

* **齐次方程组：**当常数向量 **B** 为零向量时。
* **非齐次方程组：**当常数向量 **B** 不为零向量时。
* **相容方程组：**当方程组有解时。
* **不相容方程组：**当方程组无解时。

### 2.2 线性方程组的求解方法

线性方程组的求解方法主要分为两类：直接求解法和迭代求解法。

#### 2.2.1 直接求解法

直接求解法通过一次运算得到线性方程组的精确解。常用的直接求解法有：

* **高斯消去法：**将系数矩阵 **A** 化为上三角矩阵，再进行回代求解。
* **LU分解法：**将系数矩阵 **A** 分解为下三角矩阵 **L** 和上三角矩阵 **U**，再进行前向和后向替换求解。

**代码块 1：高斯消去法求解线性方程组**

% 系数矩阵 A
A = [2 1 1; 4 3 2; 8 7 4];

% 常数向量 B
B = [1; 2; 3];

% 高斯消去法
for i = 1:size(A, 1)
    for j = i+1:size(A, 1)
        multiplier = A(j, i) / A(i, i);
        A(j, :) = A(j, :) - multiplier * A(i, :);
        B(j) = B(j) - multiplier * B(i);
    end
end

% 回代求解
X = zeros(size(A, 1), 1);
for i = size(A, 1):-1:1
    X(i) = (B(i) - A(i, i+1:end) * X(i+1:end)) / A(i, i);
end

disp(X);

**逻辑分析：**

* 外层循环遍历系数矩阵 **A** 的每一行，进行行变换。
* 内层循环遍历当前行以下的每一行，通过减法消除当前列以下的元素。
* 回代求解时，从最后一行为起点，逐行计算未知数。

#### 2.2.2 迭代求解法

迭代求解法通过不断迭代，逐步逼近线性方程组的解。常用的迭代求解法有：

* **雅可比迭代法：**根据未知数的当前值更新未知数，直到满足收敛条件。
* **高斯-塞德尔迭代法：**在更新未知数时，使用当前迭代中已更新的未知数。
* **共轭梯度法：**一种适用于大型稀疏线性方程组的迭代求解法。

**代码块 2：雅可比迭代法求解线性方程组**

% 系数矩阵 A
A = [2 1 1; 4 3 2; 8 7 4];

% 常数向量 B
B = [1; 2; 3];

% 初始解
X0 = zeros(size(A, 1), 1);

% 最大迭代次数
max_iter = 100;

% 迭代阈值
tol = 1e-6;

% 迭代求解
for i = 1:max_iter
    X_new = X0;
    for j = 1:size(A, 1)
        X_new(j) = (B(j) - A(j, [1:j-1, j+1:end]) * X0([1:j-1, j+1:end])) / A(j, j);
    end