从傅立叶变换到小波变换：图像变换的演进

# 1. 傅立叶变换的基础概念

傅立叶变换作为一种重要的数学工具，在图像处理领域发挥着重要作用。本章将介绍傅立叶变换的基础概念及其在图像处理中的应用和优缺点。

## 1.1 傅立叶变换的起源与定义

傅立叶变换由法国数学家傅立叶在19世纪提出，用于将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数之和的形式。在图像处理中，傅立叶变换可以将图像转换到频域，帮助我们理解图像的频率成分和特征。

傅立叶变换的定义如下（假设信号为$f(t)$）：
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt

## 1.2 傅立叶变换在图像处理中的应用

在图像处理中，傅立叶变换被广泛应用于频域滤波、图像增强、特征提取等领域。通过将图像转换到频域，可以对图像进行高频、低频分析，实现图像去噪、压缩等操作。

## 1.3 傅立叶变换的优势与局限性

傅立叶变换能够帮助我们从时域的角度理解信号和图像的频域信息，提供了一种便捷的分析和处理手段。然而，对于非平稳信号和图像，傅立叶变换可能存在信息损失和奈奎斯特采样定理限制等局限性。

在接下来的章节中，我们将深入探讨傅立叶变换的进化，并介绍离散傅立叶变换（DFT）在图像处理中的应用。

# 2. 离散傅立叶变换（DFT）在图像处理中的应用

傅立叶变换在图像处理中扮演着至关重要的角色，而离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）则是将连续信号离散化后的频域分析工具。在本章中，我们将深入探讨DFT的原理、算法，以及它在图像处理中的广泛应用。

### 2.1 DFT的原理与算法

DFT是将一个N点的离散信号转换为具有相同长度的频谱信号的一种数学算法。其数学表示形式如下：

X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}

其中，$x(n)$ 是原始离散信号，$X(k)$ 是转换后的频谱信号。DFT的算法通常使用快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）来实现，以提高计算效率。

### 2.2 DFT在图像滤波与频域分析中的应用

在图像处理中，DFT被广泛应用于图像滤波、频域分析和特征提取等领域。通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行各种频域操作，如低通滤波、高通滤波等，以实现图像的增强或去噪。

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

# 读取图像
img = cv2.imread('image.jpg', 0)

# 进行二维DFT变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

# 将低频分量移到图像中心
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

# 构建振幅谱
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))

# 展示原始图像及频谱图
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yt