支持向量机中的核函数作用

# 1. 引言

## 1.1 介绍支持向量机

支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种强大的监督学习算法，用于解决分类和回归问题。它的基本思想是找到一个超平面，能够将不同类别的样本实例分隔开来，同时最大化两侧的间隔。SVM在许多领域的实际问题中表现出色，如图像分类、文本分类、生物信息学等。

## 1.2 引出核函数的概念和作用

在介绍SVM时，我们发现SVM只能解决线性可分问题，即只能处理样本在特征空间中线性可分的情况。然而，实际生活中的数据往往是非线性的。为了解决这个问题，我们引入了核函数的概念。

核函数是SVM的重要组成部分，它可以将原始低维特征空间中的样本映射到高维特征空间中，使得原本线性不可分的问题变得线性可分。核函数的作用在于将非线性问题转化为线性问题，从而通过SVM的线性分类器进行求解。

接下来，我们将详细介绍核函数的基础知识，常见的核函数类型以及核函数的作用和优势。

# 2. 核函数的基础知识

核函数是支持向量机(Support Vector Machine, SVM)中的关键概念之一。它可以将原始输入空间中的数据通过一个非线性映射，映射到一个更高维的特征空间中。在特征空间中，数据可能更容易被线性分割，从而解决非线性问题。

## 2.1 核函数的定义

核函数是一个能够计算输入空间中两个样本之间相似度的函数。给定输入空间中的两个样本$x$和$y$，核函数$K(x,y)$能够计算它们在特征空间中的内积，即$K(x,y) = \langle \phi(x), \phi(y) \rangle$。这里$\phi(\cdot)$表示非线性映射函数。

核函数具有以下两个重要的性质：
- 对称性：$K(x,y) = K(y,x)$
- 正定性：对于任意的样本集合$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$，核矩阵$K$是一个半正定矩阵，即对于任意的非零向量$c$，有$c^T K c \geq 0$。

常见的核函数类型包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数和Sigmoid核函数等。

## 2.2 常见的核函数类型

### 2.2.1 线性核函数

线性核函数是最简单的核函数，它将输入空间中的数据映射到与输入空间相同的特征空间。线性核函数的定义如下：

$$K(x,y) = \langle x,y \rangle$$

其中$\langle \cdot,\cdot \rangle$表示向量之间的内积。

### 2.2.2 多项式核函数

多项式核函数通过将输入空间的数据映射到更高维的特征空间，从而引入多项式特征之间的交互项，可以处理一些非线性问题。多项式核函数的定义如下：

$$K(x,y) = (\gamma \langle x,y \rangle + r)^d$$

其中$\gamma$为核函数的系数，$r$为核函数的常数项，$d$为多项式的阶数。

### 2.2.3 高斯核函数

高斯核函数也被称为径向基函数(Radial Basis Function, RBF)核函数，它可以将数据映射到无限维的特征空间中。高斯核函数的定义如下：

$$K(x,y) = e^{-\gamma \| x-y \|^2}$$

其中$\gamma$为核函数的带宽参数。

### 2.2.4 Sigmoid核函数

Sigmoid核函数在神经网络中常被使用，它可以将数据映射到一个无限维的特征空间中。Sigmoid核函数的定义