【MATLAB伯德图入门指南】：揭秘伯德图原理，轻松绘制系统稳定性评估图

# 1. 伯德图简介**

伯德图，又称奈奎斯特图，是一种用于分析反馈控制系统稳定性的图形工具。它描述了系统开环传递函数的幅值和相位随频率的变化情况，从而可以直观地判断系统的稳定性。伯德图的绘制基于奈奎斯特稳定性判据，该判据指出：如果开环传递函数在单位圆内没有包含原点的包围，则系统稳定。

# 2. 伯德图原理

### 2.1 奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据是伯德图分析的基础，它给出了确定线性时不变（LTI）系统稳定性的图形方法。该判据规定，对于一个具有开环传递函数 \(G(j\omega)\) 的 LTI 系统，如果 \(G(j\omega)\) 在整个负实轴上的奈奎斯特轨迹不包围原点，则系统稳定。

### 2.2 伯德图的定义和构造

伯德图是奈奎斯特轨迹的极坐标表示，它以频率 \(f\) 为横轴，以复数传递函数 \(G(j\omega)\) 的幅值和相位为纵轴绘制。伯德图的构造步骤如下：

1. **计算传递函数：**计算系统的开环传递函数 \(G(j\omega)\)。
2. **计算奈奎斯特轨迹：**对于一系列频率 \(f\)，计算 \(G(j\omega)\) 的复值，并绘制其在复平面的轨迹。
3. **绘制伯德图：**将奈奎斯特轨迹转换为极坐标，以 \(f\) 为横轴，以幅值和相位为纵轴绘制伯德图。

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义传递函数
G = lambda s: 1 / (s * (s + 2) * (s + 4))

# 计算奈奎斯特轨迹
omega = np.logspace(-2, 2, 1000)
G_jw = G(1j * omega)

# 绘制奈奎斯特轨迹
plt.figure()
plt.plot(G_jw.real, G_jw.imag)
plt.xlabel('Real(G(jω))')
plt.ylabel('Imag(G(jω))')

# 绘制伯德图
plt.figure()
plt.polar(np.angle(G_jw), np.abs(G_jw))
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')

**逻辑分析：**

代码块中，我们定义了传递函数 \(G(s)\)，然后计算了奈奎斯特轨迹和伯德图。在奈奎斯特轨迹图中，轨迹不包围原点，表明系统稳定。在伯德图中，幅值曲线在低频时趋近于 0 dB，在高频时趋近于 -60 dB，相位曲线在低频时趋近于 0 度，在高频时趋近于 -180 度。

**参数说明：**

- `omega`: 频率范围
- `G_jw`: 奈奎斯特轨迹复值
- `G_jw.real`: 奈奎斯特轨迹实部
- `G_jw.imag`: 奈奎斯特轨迹虚部
- `np.angle(G_jw)`: 伯德图相位
- `np.abs(G_jw)`: 伯德图幅值

**mermaid流程图：**

graph LR
subgraph 奈奎斯特稳定性判据
    A[计算传递函数] --> B[计算奈奎斯特轨迹]
    B --> C[系统稳定性判断]
end
subgraph 伯德图构造
    D[计算传递函数] --> E[计算奈奎斯特轨迹]
    E --> F[转换为极坐标]
    F --> G[绘制伯德图]
end

# 3. 伯德图绘制实践**

### 3.1 MATLAB中的伯德图绘制函数

MATLAB提供了`bode`函数用于绘制伯德图。`bode`函数的基本语法如下：

bode(sys, w)

其中：

* `sys`：要绘制伯德图的系统传递函数。
* `w`：频率向量。

`bode`函数绘制幅度和相位响应，幅度响应以分贝为单位。

### 3.2 伯德图绘制示例

考虑一个具有以下传递函数的系统：

sys = tf([1 2], [1 3 2]);

使用`bode`函数绘制伯德图：

bode(sys, logspace(-2, 2, 100));

产生的伯德图如下：

[图片：伯德图示例]

**代码逻辑分析：**

* `tf([1 2], [1 3 2])`：创建传递函数对象`sys`。
* `logspace(-2, 2, 100)`：生成频率向量`w`，从10^-2到10^2，共100个点。
* `bode(sys, w)`：使用`bode`函数绘制伯德图。

**参数说明：**

* `sys`：传递函数对象。
* `w`：频率向量。

**扩展性说明：**

* 可以在`bode`函数中指定其他选项，例如：
* `PlotStyle`：指定绘图样式（例如，`loglog`、`semilogx`）。
* `Grid`：指定是否显示网格线。
* `Legend`：指定是否显示图例。
* 可以使用`margin`函数计算稳定性裕度，并将其叠加在伯德图上。

# 4. 伯德图分析

### 4.1 稳定性评估

伯德图可以直观地评估系统的稳定性。在伯德图中，如果闭环系统的奈奎斯特曲线不与单位圆相交，则系统是稳定的。

**步骤：**

1. 绘制闭环系统的伯德图。
2. 检查奈奎斯特曲线是否与单位圆相交。
3. 如果奈奎斯特曲线与单位圆相交，则系统不稳定。
4. 如果奈奎斯特曲线不与单位圆相交，则系统稳定。

### 4.2 性能裕度计算

伯德图还可以用于计算系统的性能裕度。性能裕度是指系统稳定裕度与所需稳定裕度的差值。

**步骤：**

1. 绘制闭环系统的伯德图。
2. 确定奈奎斯特曲线与单位圆之间的最小距离。
3. 计算相位裕度和增益裕度。
4. 计算性能裕度。

**性能裕度 = 相位裕度 + 增益裕度**

性能裕度越大，系统稳定性越好。

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义闭环传递函数
num = np.array([1, 2])
den = np.array([1, 3, 2])
sys = tf(num, den)

# 绘制伯德图
w = np.logspace(-2, 2, 1000)
G = sys.freqresp(w)

# 计算性能裕度
gm, pm, wgm, wpm = margin(sys)
print("相位裕度：", pm, "度")
print("增益裕度：", gm, "dB")
print("性能裕度：", pm + gm, "度")

# 绘制奈奎斯特曲线
plt.figure()
plt.plot(G.real, G.imag)
plt.plot(np.cos(np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)), np.sin(np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)))
plt.xlabel("实部")
plt.ylabel("虚部")
plt.title("奈奎斯特曲线")
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* 使用NumPy生成频率向量`w`。
* 使用SciPy的`tf`函数定义闭环传递函数`sys`。
* 使用SciPy的`freqresp`函数计算系统在频率`w`处的频率响应`G`。
* 使用SciPy的`margin`函数计算相位裕度`pm`、增益裕度`gm`、相位裕度频率`wpm`和增益裕度频率`wgm`。
* 打印性能裕度。
* 使用Matplotlib绘制奈奎斯特曲线。

**参数说明：**

* `num`：传递函数的分母多项式系数。
* `den`：传递函数的分母多项式系数。
* `w`：频率向量。
* `G`：频率响应。
* `pm`：相位裕度。
* `gm`：增益裕度。
* `wpm`：相位裕度频率。
* `wgm`：增益裕度频率。

# 5. 伯德图在系统设计中的应用

### 5.1 控制系统设计

伯德图在控制系统设计中扮演着至关重要的角色，因为它提供了对系统稳定性和性能的深入了解。通过分析伯德图，控制工程师可以确定系统的稳定性裕度，并优化系统性能。

#### 稳定性评估

伯德图上，系统稳定性的评估主要通过奈奎斯特稳定性判据来进行。该判据指出，如果开环传递函数的奈奎斯特曲线不包围原点，则系统是稳定的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义开环传递函数
num = [1]
den = [1, 2, 1]
G = tf(num, den)

# 绘制伯德图
w = np.logspace(-3, 3, 1000)
G_nyquist = G.evalfr(w)

# 绘制奈奎斯特曲线
plt.figure()
plt.plot(G_nyquist.real, G_nyquist.imag)
plt.grid()
plt.xlabel('Real')
plt.ylabel('Imaginary')
plt.title('奈奎斯特曲线')

# 评估稳定性
if np.all(np.abs(G_nyquist) > 1):
    print('系统稳定')
else:
    print('系统不稳定')

**代码逻辑分析：**

* `tf()`函数用于定义开环传递函数。
* `evalfr()`函数用于计算给定频率下的传递函数值。
* `np.all()`函数用于判断给定数组中的所有元素是否都大于 1。
* 如果奈奎斯特曲线不包围原点，则 `np.all()` 函数将返回 `True`，表示系统稳定。

#### 性能裕度计算

除了稳定性评估，伯德图还可以用于计算系统性能裕度。性能裕度包括增益裕度和相位裕度。

* **增益裕度：**开环传递函数的幅值在单位圆上与原点相交的点对应的增益。
* **相位裕度：**开环传递函数的相位在单位圆上与原点相交的点对应的相位。

增益裕度和相位裕度越大，系统性能越好。

# 计算增益裕度
gain_margin = 20 * np.log10(np.min(np.abs(G_nyquist)))
print('增益裕度：', gain_margin, 'dB')

# 计算相位裕度
phase_margin = 180 - np.max(np.angle(G_nyquist))
print('相位裕度：', phase_margin, '度')

**代码逻辑分析：**

* `np.min()`函数用于找到数组中最小值。
* `np.angle()`函数用于计算复数的相位。
* `np.max()`函数用于找到数组中最大值。

### 5.2 滤波器设计

伯德图在滤波器设计中也得到了广泛的应用。通过分析伯德图，滤波器设计人员可以优化滤波器的截止频率、通带增益和阻带衰减等性能指标。

#### 低通滤波器设计

低通滤波器是一种允许低频信号通过，而衰减高频信号的滤波器。伯德图可以用于设计具有特定截止频率和通带增益的低通滤波器。

# 定义低通滤波器传递函数
num = [1]
den = [1, 2, 1]
H = tf(num, den)

# 绘制伯德图
w = np.logspace(-3, 3, 1000)
H_nyquist = H.evalfr(w)

# 绘制伯德图
plt.figure()
plt.plot(H_nyquist.real, H_nyquist.imag)
plt.grid()
plt.xlabel('Real')
plt.ylabel('Imaginary')
plt.title('低通滤波器伯德图')

# 计算截止频率
cutoff_freq = w[np.argmax(np.abs(H_nyquist) < 1)]
print('截止频率：', cutoff_freq, 'rad/s')

# 计算通带增益
gain = 20 * np.log10(np.max(np.abs(H_nyquist)))
print('通带增益：', gain, 'dB')

**代码逻辑分析：**

* `np.argmax()`函数用于找到数组中第一个满足给定条件的元素的索引。
* `np.max()`函数用于找到数组中最大值。

# 6.1 Nyquist-Shannon采样定理

**Nyquist-Shannon采样定理**，又称奈奎斯特采样定理，是信号处理中一个重要的定理，它指出：对于一个带宽为 $B$ 的连续时间信号，如果以大于 $2B$ 的采样率对其进行采样，则可以完美地重建原始信号。

**定理表述：**

如果一个连续时间信号的带宽为 B，则其采样率必须满足：

$$f_s > 2B$$

**定理证明：**

Nyquist-Shannon采样定理的证明基于伯德图。考虑一个带宽为 $B$ 的连续时间信号 $x(t)$，其伯德图如下图所示：

graph LR
subgraph 伯德图
    A[稳定] --> B[不稳定]
    C[采样] --> D[重建]
    A --> C
    B --> D
    C --> B
    D --> A
end

从伯德图中可以看出，当采样率低于 $2B$ 时，伯德图中的闭合轨迹会穿过不稳定区域，导致采样后的信号失真。而当采样率大于 $2B$ 时，伯德图中的闭合轨迹完全位于稳定区域，保证了采样后的信号可以完美重建。

**应用：**

Nyquist-Shannon采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用，例如：

* **模拟信号的数字化：**根据定理，可以确定合适的采样率，以数字化模拟信号。
* **数据传输：**在通信系统中，采样定理用于确定信号传输所需的带宽。
* **图像处理：**在图像处理中，采样定理用于确定图像的采样率，以避免混叠。