利用LU分解解决一维抛物方程的矩阵求解问题

# 1. 引言

## 1.1 背景介绍
在计算数学领域，解决线性方程组是一个重要的问题。LU分解是一种常用的矩阵分解方法，可以将线性方程组转化为更容易求解的形式，从而提高计算效率。同时，抛物方程是描述许多物理现象的重要方程之一，如热传导和扩散过程。将LU分解与抛物方程相结合，可以更高效地求解抛物方程问题。

## 1.2 LU分解的概念和原理概述
LU分解是一种将一个矩阵分解为下三角矩阵（L）和上三角矩阵（U）的方法。通过LU分解，可以将解线性方程组的过程分解为两步：先通过正向替换法解下三角线性方程组，再通过反向替换法解上三角线性方程组，从而得到原始线性方程组的解。

## 1.3 抛物方程在计算数学中的应用
抛物方程是一个偏微分方程，常用来描述随时间和空间变化的物理过程，如热传导、扩散、波动等。在数值计算中，为了求解抛物方程的数值解，通常需要将其离散化为线性方程组的形式，然后利用求解线性方程组的方法来求解抛物方程的数值解。LU分解是求解线性方程组的一种有效方法，可以用于解决抛物方程的数值计算问题。

# 2. 矩阵求解方法概述

**2.1 线性方程组的求解方法简介**
在数值计算中，解线性方程组是一项基本任务，而矩阵求解方法即是解决线性方程组的重要途径之一。常用的矩阵求解方法包括直接解法和迭代法等。直接解法的代表是LU分解法，通过矩阵的分解和求解过程，可以得出线性方程组的解。迭代法则是通过不断逼近线性方程组的解来求解。

**2.2 LU分解与矩阵求解的关系**
LU分解是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。这种分解方法可以简化矩阵求解的过程，特别是对于多次需要求解的线性方程组。

**2.3 LU分解的算法流程**
LU分解的算法流程主要包括选主元与消元，求解方程组等步骤。具体来说，首先选取合适的主元素，然后通过消元操作将原矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵。最后利用得到的LU矩阵进行回代求解方程组，得到最终的解。LU分解的算法流程对于求解大规模的线性方程组具有较高的效率和精度。

# 3. 一维抛物方程建模与离散化

#### 3.1 一维抛物方程的基本