图着色算法与应用

# 1. 图论基础

## 1.1 图的定义与性质

在图着色算法中，首先需要了解图的基本概念。图是由节点和连接节点的边组成的一种数据结构。图可以分为有向图和无向图，有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是没有方向的。

图的一些基本属性包括：
- 节点的度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。
- 路径：路径是图中连接节点的一系列边的序列。
- 连通性：图中的两个节点之间是否存在路径。
- 环：图中形成闭合的路径。

## 1.2 图的分类与表示

根据节点和边的性质，图可以分为多种不同的类型，包括：
- 无向图
- 有向图
- 加权图
- 完全图
- 二分图

图可以通过邻接矩阵和邻接表等方式进行表示，不同的表示方法适用于不同的图算法和问题求解。

## 1.3 图着色问题概述

图着色问题是指给定一个图，如何将图的节点着色，使得任意相邻的节点具有不同的颜色。这是一个经典的组合优化问题，在很多实际问题中都有应用，比如地图着色、时间表问题等。图着色问题在计算机科学、运筹学和应用数学等领域都有重要的意义。

接下来，我们将介绍图着色算法，以及优化和实际应用等相关内容。

# 2. 图着色算法介绍

图着色算法是图论领域中的一个重要问题，它主要研究如何用尽量少的颜色给图的各个顶点着色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。在实际应用中，图着色算法被广泛应用于地图着色、时间表问题、计划排程以及物理实验设计等领域。本章将介绍几种常见的图着色算法及其原理。

### 2.1 贪婪着色算法

贪婪着色算法是一种简单而常用的图着色算法。其基本思想是按顺序对图的顶点进行着色，每次选择一个未被着色并且与已着色顶点相邻最少的顶点，并给它涂上一种尚未被使用的颜色。这种算法简单易实现，但不能保证给出最优解。

# Python实现贪婪着色算法
def greedy_coloring(graph):
    colors = {}  # 存储每个顶点的颜色
    for vertex in graph.vertices:
        assigned = set(colors.get(neighbour) for neighbour in vertex.neighbours)
        for color in range(len(graph.vertices)):
            if color not in assigned:
                colors[vertex] = color
                break
    return colors

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为图的顶点数。

### 2.2 DSatur算法

DSatur算法是一种启发式图着色算法，它通过动态选择顶点的饱和度（相邻已着色顶点的数量）最高的顶点进行着色。该算法通常能够获得较好的着色结果，并且相对于贪婪算法，具有更高的效率和更好的着色质量。

// Java实现DSatur算法
public class DSatur {
    // 省略算法实