图论初步：图的基本概念与图的表示

# 1. 引言

## 1.1 图论的背景与重要性

图论作为离散数学的一个分支，是研究图结构的数学理论。图论中的“图”是用顶点和边来描述各种事物及其相互之间的关系的数学模型。图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域都有着广泛的应用，是解决实际问题的重要工具之一。

在计算机算法中，图论被广泛应用于解决各种问题，如最短路径问题、最小生成树问题、流网络问题等。深入理解图论的基本概念和算法原理，有助于开发高效的算法和数据结构来解决相关问题。

## 1.2 本文的内容概述

本文将介绍图论的基本概念，包括图的定义、路径、环、连通性等内容；图的表示方法，如邻接矩阵、邻接表等；图的常见类型，如无向图、有向图、加权图、树等；以及图的应用领域，包括最短路径、网络流、社交网络等；最后会对图论在计算机科学中的重要性和未来发展进行展望。让我们深入探讨图论的精彩世界！

# 2. 图的基本概念

在图论中，图是由一组顶点及连接这些顶点的边组成的数学模型。图论作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、网络分析、运筹学等领域有着广泛的应用。在本章节中，我们将介绍图的基本概念，包括顶点和边的定义、路径、环和连通性、以及度数和邻接矩阵等内容。

#### 2.1 顶点和边的定义
在图论中，顶点是图中的节点，用来表示实体或抽象概念。边则是顶点之间的连接关系，用来表示顶点之间的关联。根据边的不同性质，图分为有向图和无向图。在有向图中，边有方向，即从一个顶点指向另一个顶点；而在无向图中，边没有方向，顶点之间的关系是相互的。

#### 2.2 路径、环和连通性
图中顶点之间的连接关系可以形成路径和环。路径是指顶点的一个序列，使得图中相邻的两个顶点有边相连；环是一个至少有三个顶点的路径，且第一个顶点和最后一个顶点相同。连通性描述了图中顶点之间的连接情况，一个图可以是连通的，也可以是非连通的。

#### 2.3 度数和邻接矩阵
顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量，对于有向图，度数可以分为入度和出度。邻接矩阵是一种常用的图表示方法，通过矩阵来表示图中顶点之间的连接关系，便于进行图的运算和分析。

接下来，我们将详细介绍图的表示方法，包括邻接矩阵与邻接表、图的图形化表示，以及图的存储与遍历。

# 3. 图的表示方法

图是一种非常重要的数据结构，在实际应用中经常需要对图进行表示和存储。图的表示方法有多种，常见的包括邻接矩阵和邻接表。

#### 3.1 邻接矩阵与邻接表

邻接矩阵是最常见的图表示方法之一。它是一个二维数组，数组的大小为 n*n，其中 n 为图中顶点的个数。邻接矩阵的元素表示顶点之间的连接关系，如果两个顶点相邻，则对应的元素为 1；如果不相邻，则为 0。对于带权图，可以将对应的元素值改为权值。

# Python 代码示例：邻接矩阵表示图
class Graph:
    def __init__(self, v):
        self.v = v
        self.adj = [[0]*v for _ in range(v)]

    def add_edge(self, s, t):
        self.adj[s][t] = 1
        self.adj[t][s] = 1  # 无向图需要对称存储

# 创建一个含有 5 个顶点的图，并添加边的关系
g = Graph(5)
g.add_edge(0, 1)
g.add_edge(0, 2)
g.add_edge(1, 3)
g.add_edge(2, 4)

邻接表是另一种常见的图表示方法。它使用数组（或者哈希表）来存储图中的每个顶点的邻接顶点列表。相比邻接矩阵，邻接表更适合表示稀疏图，节省了存储空间。

// Java 代码示例：邻接表表示图
import java.ut