机器学习基础：从线性回归到分类算法

# 1. 机器学习简介

#### 1.1 什么是机器学习

在这个信息爆炸的时代，人工智能和机器学习已经成为了炙手可热的话题。但是，什么是机器学习呢？机器学习是一种通过让计算机系统从数据中学习如何进行任务，而无需进行明确的编程的技术。简而言之，机器学习是让计算机具有从数据中学习的能力，进而进行预测和决策。

#### 1.2 机器学习的应用领域

机器学习已经在各个领域有着广泛的应用，包括但不限于医疗诊断、金融风控、智能客服、自然语言处理、图像识别和推荐系统等。

#### 1.3 机器学习的分类

机器学习可以大致分为监督学习、无监督学习和强化学习三大类。监督学习通过给定输入输出的样本训练模型；无监督学习则是通过对数据的自动学习和发现模式；强化学习则是让智能体在与环境的交互中学习决策策略。

# 2. 线性回归

#### 2.1 线性回归的基本概念
在线性回归中，我们试图建立一个线性关系模型，以预测自变量与因变量之间的关系。这种关系通常表示为$y = mx + b$，其中$y$是因变量，$x$是自变量，$m$是斜率，$b$是截距。

#### 2.2 线性回归模型
线性回归模型通过拟合最佳直线来描述变量之间的关系。最常见的是最小二乘法，通过最小化实际值与预测值之间的平方误差来确定最佳拟合直线。

#### 2.3 线性回归的代价函数
代价函数衡量模型预测与实际观测值之间的误差。在线性回归中，常用的代价函数是均方误差（MSE），即预测值与真实值之间差值的平方和。

#### 2.4 梯度下降算法
梯度下降是一种优化算法，通过迭代更新参数，使代价函数最小化。对于线性回归，梯度下降可以帮助找到使代价函数最小化的最佳参数值，从而得到最佳拟合直线。

在这一章节中，我们将深入探讨线性回归的概念、模型、代价函数以及梯度下降算法的原理和应用。

# 3. 逻辑回归

### 3.1 逻辑回归模型

逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的机器学习算法。与线性回归不同，逻辑回归的输出是经过逻辑函数（也称为sigmoid函数）处理的概率值，通常用于两类问题的分类。

逻辑回归模型假设了特征与标签之间的线性关系，并利用sigmoid函数将线性输出转换为概率值。逻辑回归模型的表达式如下所示：

$$h_{\theta}(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}}$$

其中，$h_{\theta}(x)$表示预测的概率，$x$为输入的特征向量，$\theta$是模型的参数向量。

### 3.2 逻辑回归的概率预测

逻辑回归模型得到的输出是一个介于0和1之间的概率值，可用于进行分类决策。通常，当$h_{\theta}(x) >= 0.5$时，预测类别为1；当$h_{\theta}(x) < 0.5$时，预测类别为0。

### 3.3 逻辑回归的损失函数

为了使逻辑回归模型能够进行参数学习，需要定义损失函数。逻辑回归通常使用对数损失函数