【二次型的手工分析课】：正定性与规范形式的彻底解析


参考资源链接：[陈启宗手写线性系统理论与设计1-9章完整答案揭秘](https://wenku.csdn.net/doc/660rhf8hzj?spm=1055.2635.3001.10343)
# 1. 二次型的定义和基本性质

二次型是数学中的一种重要概念，广泛应用于统计学、工程学和经济学等多个领域。在本章中，我们将首先明确二次型的定义，并探讨它的基本性质。二次型是由变量的二次多项式组成的函数，通常表示为Q(x)=∑a_ijx_ix_j。其中，x=(x_1, x_2, ..., x_n)是变量向量，而系数矩阵A=(a_ij)是一个n×n阶对称矩阵。

接下来，我们将讨论二次型的以下几个基本性质：

## 1.1 齐次性与对称性
首先，二次型具有齐次性，即对于任意实数λ，有Q(λx)=λ²Q(x)。其次，由于系数矩阵是对称的，因此二次型具有对称性，即Q(x) = Q(x')，其中x'代表x的任意排列。

## 1.2 正定性与负定性
二次型的另一个重要性质是它的正定性或负定性，这决定了函数的值总是非负还是非正。正定二次型定义为对所有非零向量x，Q(x) > 0。类似地，负定二次型定义为Q(x) < 0。

## 1.3 秩与符号差
二次型的秩表示非零特征值的个数，而符号差则是正特征值个数与负特征值个数之差。这两个属性对于了解二次型的全局性质非常关键。

通过这些基本性质的探讨，我们可以为后续章节中对二次型更深入的分析打下坚实的基础。

# 2. 二次型的矩阵表示与标准形

## 2.1 二次型的矩阵表示

### 2.1.1 线性代数基础回顾

在进入二次型的矩阵表示之前，我们需要回顾线性代数的一些基础概念。矩阵是线性代数的核心工具之一，它是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。二次型可以看作是一个多项式，其中每项的指数都是2，并且是变量的线性组合。

### 2.1.2 二次型到矩阵的转换

二次型可以通过一个方阵来表示，这种表示方式对于理解和操作二次型非常有用。假设有一个二次型：

\[ f(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]

其中 \( a_{ij} \) 是系数，\( x_i \) 和 \( x_j \) 是变量。这个二次型可以转换为矩阵形式：

\[ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

这里，\( \mathbf{x} \) 是变量向量，\( A \) 是由系数 \( a_{ij} \) 构成的对称矩阵。\( A \) 的对角线上的元素对应于变量平方项的系数，而 \( A \) 的非对角线元素对应于变量交叉项的系数。

### 2.1.2.1 代码实现转换过程

以一个简单的二次型 \( f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 3y^2 \) 为例，展示如何通过代码实现其矩阵表示：

import numpy as np

# 定义二次型的系数
coefficients = np.array([[2, 2], [2, 3]])

# 变量向量
x = np.array([x, y])

# 二次型的矩阵表示
f = x.T @ coefficients @ x
print("矩阵 A 表示的二次型为：", f)

在上述代码中，`coefficients` 是表示二次型的矩阵 \( A \)，我们使用 `@` 运算符完成矩阵乘法，从而实现向量的二次型表达。

### 2.1.2.2 参数说明

在代码中，矩阵 \( A \) 必须是对称的，因为它代表了一个实际的二次型。向量 \( \mathbf{x} \) 包含了变量 \( x \) 和 \( y \)，而 \( f \) 是计算出来的结果。

## 2.2 二次型的化为标准形

### 2.2.1 合同变换的概念

合同变换是一种特殊的线性变换，它不改变二次型的基本性质。合同变换通常用矩阵 \( P \) 来表示，而变换后的二次型 \( f' \) 可以写成：

\[ f'(\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T B \mathbf{y} \]

其中 \( \mathbf{y} = P^{-1} \mathbf{x} \)，\( B \) 是变换后的对称矩阵。

### 2.2.2 合同变换的应用实例

为了将二次型化为标准形，我们需要进行合同变换。考虑一个二次型 \( f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2 \) 和一个合同矩阵 \( P \)：

# 定义合同矩阵 P
P = np.array([[1, -1], [0, 1]])

# 变量向量
x = np.array([x, y])

# 合同变换后的变量向量
y = P @ x

# 二次型在变量 y 下的标准形
B = P.T @ np.array([[1, 2], [2, 1]]) @ P
f_prime = y.T @ B @ y
print("合同变换后的二次型为：", f_prime)

### 2.2.2.1 逻辑分析

上述代码中，我们首先定义了一个合同矩阵 \( P \)，然后通过矩阵乘法将变量向量 \( \mathbf{x} \) 变换为 \( \mathbf{y} \)。接着，我们计算了 \( \mathbf{y} \) 下的二次型，即标准形 \( f' \)。合同变换保持了二次型的正定性、负定性等基本性质。

## 2.3 正定二次型的判定方法

### 2.3.1 主子式判定法

正定二次型指的是对于所有非零向量 \( \mathbf{x} \)，二次型 \( f(\mathbf{x}) \) 的值总是大于零。一个简单而直接的判定方法是主子式判定法，它基于二次型矩阵 \( A \) 的主子式的计算。

### 2.3.2 Sylvester法则的应用

Sylvester法则是一个更严格的判定方法，它声明：一个对称矩阵 \( A \) 正定的充分必要条件是所有顺序主子式都是正的。

### 2.3.2.1 逻辑分析

顺序主子式指的是从 \( A \) 的左上角开始，逐步增加行和列，依次得到的 \( k \times k \) 的子矩阵的行列式 \( D_k \)，其中 \( k = 1, 2, ..., n \)。如果所有 \( D_k \) 都是正的，那么 \( A \) 是正定的。

根据上述方法，我们可以编写一个 Python 函数，用于判定任意给定的对称矩阵是否是正定的：

def is_positive_definite(A):
    from numpy.linalg import det

    # 计算所有顺序主子式的行列式
    determinants = [det(A[:k, :k]) for k in range(1, A.shape[0] + 1)]
    # 检查所有主子式的符号
    return all(det > 0 for det in determinants)

# 测试矩阵
A