生成函数在概率论中的应用：揭开随机现象的3大规律

# 1. 概率论基础

概率论是生成函数的基础，它提供了生成函数的数学框架。本章将介绍概率论的基本概念，包括：

- **事件和概率：**事件的定义、概率的定义和性质。
- **随机变量：**随机变量的定义、分布函数和概率密度函数。
- **期望值和方差：**期望值的定义、方差的定义和性质。

# 2. 生成函数的定义和性质

### 2.1 生成函数的概念和定义

生成函数是一种数学工具，用于表示随机变量的概率分布。对于一个随机变量 X，其生成函数 G(z) 定义为：

G(z) = E(z^X) = ∑[z^x * P(X = x)]

其中：

* E 表示期望值
* z 是一个复变量
* P(X = x) 是随机变量 X 取值为 x 的概率

### 2.2 生成函数的性质和定理

生成函数具有以下性质：

* **唯一性：**每个概率分布都有一个唯一的生成函数。
* **正定性：**生成函数始终是非负的。
* **收敛半径：**生成函数在某个半径内收敛，称为收敛半径。
* **矩定理：**生成函数的 n 阶导数在 z = 0 处等于随机变量 X 的 n 阶矩。
* **卷积定理：**两个独立随机变量 X 和 Y 的生成函数的乘积等于 X + Y 的生成函数。

### 生成函数的性质的证明

**证明：**

* **唯一性：**假设存在两个不同的生成函数 G1(z) 和 G2(z) 表示同一个概率分布。那么，它们的期望值也必须相等：

E(z^X) = G1(z) = G2(z)

因此，G1(z) 和 G2(z) 必须在收敛半径内相等。

* **正定性：**生成函数是概率的和，因此它始终是非负的。

* **收敛半径：**生成函数的收敛半径由随机变量 X 的分布决定。如果 X 的支持集是有限的，则收敛半径为无穷大。否则，收敛半径为：

R = 1 / sup{|z| : P(X = x) > 0}

* **矩定理：**生成函数的 n 阶导数在 z = 0 处等于随机变量 X 的 n 阶矩：

E(X^n) = G'(0) / G(0)

这是因为：

E(X^n) = ∑[x^n * P(X = x)] = ∑[x^n * d^n/dz^n G(z) / dz^n] |_{z=0} = G'(0) / G(0)

* **卷积定理：**两个独立随机变量 X 和 Y 的生成函数的乘积等于 X + Y 的生成函数：

G(z) * H(z) = ∑[z^(x+y) * P(X = x) * P(Y = y)] = G(z) * H(z)

因此，生成函数为我们提供了一种简洁而强大的方法来表示和分析概率分布。

# 3.1 离散型概率分布的生成函数

#### 3.1.1 二项分布的生成函数

**定义：**

二项分布的生成函数为：

G(s) = (1 - p + ps)^n

其中：

* p 为成功概率
* n 为试验次数

**逻辑分析：**

该生成函数表示在 n 次独立试验中，成功 k 次的概率。

**参数说明：**

| 参数 | 说明 |
|---|---|
| s | 生成函数变量 |
| p | 成功概率 |
| n | 试验次数 |

**代码块：**

import sympy

# 定义参数
p = 0.5
n = 10

# 计算二项分布的生成函数
s = sympy.S