自相关函数与交叉相关函数：揭示不同时间序列关联性

# 1. 自相关函数与交叉相关函数的概念与理论基础

### 1.1 自相关函数

自相关函数（ACF）衡量时间序列中相隔一定时间间隔的观测值之间的相关性。它定义为：

ACF(k) = Cov(X_t, X_{t+k}) / Var(X_t)

其中：

* `X_t` 是时间序列在时间 `t` 的观测值
* `k` 是时间间隔
* `Cov()` 是协方差
* `Var()` 是方差

自相关函数的取值范围为 [-1, 1]。正值表示正相关，负值表示负相关，0 表示不相关。

# 2. 自相关函数与交叉相关函数的计算方法

### 2.1 自相关函数的计算

**定义：**

自相关函数（ACF）衡量时间序列中观测值与自身在不同时间滞后下的相关性。它定义为：

ρ(k) = Cov(X_t, X_{t+k}) / Var(X_t)

其中：

* ρ(k) 是时滞 k 的自相关系数
* X_t 是时间序列在时间 t 的观测值
* Cov(X_t, X_{t+k}) 是 X_t 和 X_{t+k} 的协方差
* Var(X_t) 是 X_t 的方差

**计算方法：**

自相关函数可以通过以下步骤计算：

1. 计算时间序列的均值：μ = (1/N) ΣX_t
2. 计算时间序列的方差：σ^2 = (1/N) Σ(X_t - μ)^2
3. 计算不同时滞 k 的协方差：Cov(X_t, X_{t+k}) = (1/N) Σ(X_t - μ)(X_{t+k} - μ)
4. 计算自相关系数：ρ(k) = Cov(X_t, X_{t+k}) / σ^2

**代码块：**

import numpy as np

def autocorr(x, k):
    """计算自相关函数。

    参数：
        x: 时间序列
        k: 时滞

    返回：
        时滞 k 的自相关系数
    """
    mean = np.mean(x)
    var = np.var(x)
    cov = np.cov(x, np.roll(x, k))[0, 1]
    return cov / var

**逻辑分析：**

该代码块实现了自相关函数的计算。它首先计算时间序列的均值和方差。然后，它使用 `np.cov()` 函数计算时间序列与自身在时滞 k 下的协方差。最后，它将协方差除以方差得到自相关系数。

### 2.2 交叉相关函数的计算

**定义：**

交叉相关函数（CCF）衡量两个时间序列中观测值在不同时间滞后下的相关性。它定义为：

ρ_{XY}(k) = Cov(X_t, Y_{t+k}) / (σ_X σ_Y)

其中：

* ρ_{XY}(k) 是时滞 k 的交叉相关系数
* X_t 是时间序列 X 在时间 t 的观测值
* Y_{t+k} 是时间序列 Y 在时间 t+k 的观测值
* Cov(X_t, Y_{t+k}) 是 X_t 和 Y_{t+k} 的协方差
* σ_X 是时间序列 X 的标准差
* σ_Y 是时间序列 Y 的标准差

**计算方法：**

交叉相关函数可以通过以下步骤计算：

1. 计算两个时间序列的均值：μ_X = (1/N) ΣX_t, μ_Y = (1/N) ΣY_t
2. 计算两个时间序列的标准差：σ_X = (1/N) Σ(X_t - μ_X)^2, σ_Y = (1/N) Σ(Y_t - μ_Y)^2
3. 计算不同时滞 k 的协方