统计推断与机器学习


参考资源链接：[统计推断(Statistical Inference) 第二版 练习题 答案](https://wenku.csdn.net/doc/6412b77cbe7fbd1778d4a767?spm=1055.2635.3001.10343)
# 1. 统计推断与机器学习基础

## 1.1 统计推断的基本概念

统计推断是统计学的一个核心分支，它涉及从数据中提取信息，并对整个总体做出合理的推断和预测。在机器学习的背景下，统计推断可以帮助我们理解数据的结构，评估模型的准确性，并预测未来数据的行为。尽管机器学习和统计推断在方法和实践上有所不同，但它们在概念上是互补的。

在本章中，我们将首先介绍统计推断的基本概念，并简要探讨它与机器学习之间的联系。然后，我们会深入统计推断的理论基础，涵盖统计量、抽样分布，以及中心极限定理等重要理论，并逐渐过渡到假设检验、置信区间的构造与解释。这一系列基础概念将为后续章节中关于机器学习算法和模型的讨论提供坚实的理论支撑。

# 2. 统计推断的理论基础

### 2.1 统计推断的基本概念

统计推断涉及从数据中进行一般化结论的过程。在统计推断中，我们利用从总体中抽取的样本数据来对总体的特征做出估计，或者检验关于总体的假设。

#### 2.1.1 统计量与估计方法

**统计量**是从数据集中计算出的值，它用于描述样本的某些特征。常见的统计量包括均值、方差、标准差等。这些统计量可以帮助我们了解数据的分布情况，为进一步的分析提供基础。

在**点估计**中，我们使用单个数值来估计总体参数，如均值或方差。例如，样本均值是对总体均值的一个点估计。

另一方面，**区间估计**提供了一个包含总体参数的区间，这个区间有一个置信水平与之对应。例如，一个95%的置信区间意味着如果我们从总体中重复抽取无限多的样本，那么其中95%的样本将产生包含总体参数的区间估计。

import numpy as np
from scipy import stats

# 假设有一组样本数据
data = np.array([1.2, 1.3, 1.5, 1.4, 1.6, 1.2, 1.5, 1.6, 1.4])

# 点估计 - 计算样本均值
point_estimate = np.mean(data)
print(f"样本均值（点估计）: {point_estimate}")

# 区间估计 - 计算均值的95%置信区间
interval_estimate = stats.norm.interval(0.95, loc=np.mean(data), scale=stats.sem(data))
print(f"均值的95%置信区间: {interval_estimate}")

该代码块展示了如何使用Python进行点估计和区间估计。通过计算样本均值，我们得到一个点估计值，而使用`scipy.stats`中的`norm.interval`函数则能计算出均值的置信区间。

#### 2.1.2 抽样分布与中心极限定理

**抽样分布**是指从总体中抽取所有可能样本后，每个样本统计量的分布。了解抽样分布对于统计推断至关重要，因为它允许我们了解估计量的准确性和可靠性。

**中心极限定理**是统计学中的一个基本定理，它指出，在一定条件下，大量独立随机变量之和（或平均值）趋近于正态分布，不论这些随机变量本身的分布如何。这一定理对于许多统计推断方法的有效性至关重要，尤其是在应用t检验、ANOVA等统计检验方法时。

### 2.2 假设检验原理与应用

#### 2.2.1 假设检验的步骤与逻辑

假设检验是统计推断的一个核心部分，它用来测试关于总体参数的假设。典型的假设检验遵循以下步骤：

1. **建立假设**：
- 零假设（H0）：通常表示“没有效应”或“没有差异”，即假设总体参数等于某个特定值。
- 备择假设（H1）：与零假设相对，表示存在某种效应或差异。

2. **选择检验统计量**：
- 根据统计问题选择合适的统计量，如t统计量、卡方统计量等。

3. **确定显著性水平（α）**：
- 这是犯第一类错误（拒绝真的零假设）的概率上限，常见的显著性水平有0.05和0.01。

4. **计算检验统计量和p值**：
- 检验统计量的值告诉我们样本观察与零假设之间的差异程度。
- p值是观测到的数据或更极端数据出现的概率，如果p值小于或等于显著性水平，我们拒绝零假设。

5. **做出决策**：
- 如果p值小于α，我们拒绝零假设，否则不拒绝零假设。

graph TD
    A[开始] --> B[建立假设]
    B --> C[选择检验统计量]
    C --> D[确定显著性水平]
    D --> E[计算检验统计量和p值]
    E --> F{p值与α比较}
    F -->|p <= α| G[拒绝零假设]
    F -->|p > α| H[不拒绝零假设]

上述的mermaid流程图表示了假设检验的基本步骤和逻辑。

#### 2.2.2 常用的统计检验方法

在统计实践中，有许多不同的假设检验方法可用于各种不同的情况。一些最常用的检验包括：

- t检验（单样本、独立样本、配对样本）
- 卡方检验（拟合优度、独立性）
- ANOVA（方差分析）

每种检验都有其特定的应用场景、前提条件和计算方法。选择适当的检验方法通常取决于数据的分布、样本量大小、数据是否配对等因素。

### 2.3 置信区间的构造与解释

#### 2.3.1 置信区间的定义与性质

置信区间是一个概率表达，它描述了总体参数的不确定性。具体来说，置信区间给出了一个参数的范围，并附有一个置信水平（如95%），意味着如果我们从总体中重复抽样无数次并计算置信区间，那么95%的这些区间将包含真实的总体参数。

置信区间具有以下重要性质：

1. **置信水平**：通常用α表示1-置信水平（例如，对于95%置信水平，α=0.05）。
2. **区间宽度**：与样本量大小、置信水平和总体参数的变异性有关。
3. **中心性**：置信区间的中心应该基于样本统计量，如样本均值。

#### 2.3.2 不同场景下的置信区间计算

不同类型的统计量需要不同的方法来计算置信区间。例如：

- **均值的置信区间**：适用于正态分布数据（大样本情况下使用t分布）。
- **比率的置信区间**：适用于二项分布数据。
- **标准差的置信区间**：通常使用卡方分布计算。

对于复杂的数据分布和参数估计，置信区间的计算可能需要使用计算机模拟（如自助法Bootstrap）或蒙特卡洛方法。置信区间在报告研究结果时提供了一个有用的指标，用以衡量统计量的不确定性。

# 3. 机器学习的算法与模型

## 3.1 监督学习与非监督学习

### 3.1.1 分类与回归问题

在机器学习领域，分类和回归是两种基本的学习任务，用于处理不同类型的数据预测问题。分类问题是指预测结果为离散的类别标签，例如垃圾邮件检测、图像识别等。分类问题可以进一步分为二分类问题（如信贷风险评估）和多分类问题（如手写数字识别）。在实现分类任务时，常用的方法包括逻辑回归、支持向量机、决策树、随机森林以及神经网络等。

回归问题则是指预测结果为连续值，例如房价预测、股票价格趋势分析等。回归模型的目的是找到输入特征与输出目标值之间的映射关系。常见的回归算法有线性回归、多项式回归、支持向量回归以及神经网络。

下面的代码展示了一个简单的逻辑回归模型的构建过程，用以分类鸢尾花数据集中的花朵种类：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklear