【二分搜索，Codeforces中的高级应用】：掌握二分搜索问题的深入用法

# 1. 二分搜索算法基础

二分搜索算法是一种高效的查找方法，尤其适用于有序数据集合。其基本思想是将查找区间分为两半，判断目标值与区间中点的关系，以此来减少查找范围。

## 算法的基本步骤

1. **初始化**：首先确定数据集合的起始位置`left`和结束位置`right`，这两个位置定义了查找的范围。
2. **循环或递归**：在查找过程中，通过计算中点`mid = left + (right - left) / 2`，然后比较中点值与目标值。
3. **更新区间**：根据比较结果，将查找范围缩小到左半部分或右半部分，并重复步骤2，直到找到目标值或区间缩小至0。

## 二分搜索的代码实现（示例）

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1  # 初始化查找范围

    while left <= right:  # 循环条件
        mid = left + (right - left) // 2  # 防止溢出的计算方式
        if arr[mid] == target:
            return mid  # 找到目标值，返回索引
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1  # 调整左边界
        else:
            right = mid - 1  # 调整右边界

    return -1  # 未找到目标值时返回-1

二分搜索虽然简单，但它要求数据必须是有序的。由于其时间复杂度为O(log n)，因此在大数据集合中查找时，二分搜索能显著提高效率。不过，正确实现二分搜索需要特别注意边界条件和循环/递归的终止条件，避免死循环或越界错误。接下来的章节将深入探讨二分搜索算法的更多细节和优化技巧。

# 2. 二分搜索算法的深入理解

## 2.1 二分搜索的理论基础

### 2.1.1 搜索空间的定义和分割

二分搜索是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。其核心思想是将数组分成两半，与目标值进行比较，然后选择包含目标值的半部分继续搜索，逐渐缩小搜索范围直到找到目标值。

在理解二分搜索时，我们首先要定义搜索空间。搜索空间是指在有序数组中，当前算法正在考虑的元素的集合。在每一次迭代中，搜索空间都会被划分为两个子空间。划分依据是将当前的搜索空间的中点作为基准，然后根据目标值与基准值的比较结果，决定是保留左半部分还是右半部分作为新的搜索空间。

例如，假定我们有一个升序排列的数组`[1, 3, 5, 7, 9, 11]`，我们想要通过二分搜索找到数字`7`。初始时，搜索空间就是整个数组。我们首先取中间索引`3`（即`5`）作为基准。因为`7`大于`5`，我们将搜索空间缩小到`[7, 9, 11]`，然后再取这个子数组的中间索引`1`（即`9`）作为新的基准。由于`7`小于`9`，我们再次将搜索空间缩小到`[7]`，找到目标值。

### 2.1.2 收敛条件的确定与算法复杂度

在实现二分搜索时，需要确定何时停止算法。通常，收敛条件会设置为当搜索空间的大小缩小到只有一个元素时，或者搜索空间为空时停止搜索。在循环中，每次迭代都会将搜索空间减半，这保证了算法能在对数时间内完成搜索。因此，二分搜索的时间复杂度为`O(log n)`，其中`n`是数组的长度。

算法的收敛条件在实现时非常重要。如果在搜索空间为空时仍未找到目标值，应该返回一个指示未找到的特定值或抛出异常。例如，在C++中，可以返回`-1`来表示未找到，或者在Java中抛出一个`NotFoundException`。

## 2.2 二分搜索算法的变种

### 2.2.1 左侧边界的搜索

标准的二分搜索在找到目标值后就停止了。但如果数组中有重复的元素，标准二分搜索无法确定目标值的左侧边界（即第一个出现的目标值的位置）。为了找到左侧边界，需要进行一些调整。主要的调整是在找到一个目标值后，不是停止搜索，而是继续在左侧空间查找是否有相同的值。

这里是一个左侧边界搜索的代码示例：

def left_bound_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    ans = -1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            ans = mid
            right = mid - 1  # 继续在左侧查找，调整搜索空间
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return ans

### 2.2.2 右侧边界的搜索

与左侧边界类似，为了找到数组中重复元素的右侧边界，同样需要在找到目标值后继续在右侧空间搜索。调整后的代码如下：

def right_bound_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    ans = -1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            ans = mid
            left = mid + 1  # 继续在右侧查找，调整搜索空间
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return ans

### 2.2.3 浮点数二分搜索

标准二分搜索算法的变种还包括对浮点数的搜索。由于浮点数的精度问题，在比较和计算中点时需要特别注意。在实际操作时，可以指定一个小的误差范围`epsilon`，当两个浮点数的差的绝对值小于`epsilon`时，认为这两个浮点数相等。

下面是一个浮点数二分搜索的例子：

def float_search(nums, target, epsilon=1e-5):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left + 1 < right:
        mid = (left + right) / 2
        if abs(nums[mid] - target) < epsilon:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid
        else:
            right = mid
    return left if abs(nums[left] - target) < epsilon else right

## 2.3 二分搜索的实现技巧

### 2.3.1 循环与递归的选择

二分搜索可以用循环和递归两种方法实现。循环实现更为直观，执行效率也通常更高，因为循环不会增加额外的函数调用开销。然而，递归实现提供了更好的代码清晰性和逻辑结构，特别是在理解算法和调试阶段。

def binary_search_recursive(nums, target, left, right):
    if left > right:
        return -1
    mid = (left + right) // 2
    if nums[mid] == target:
        return mid
    elif nums[mid] > target:
        return binary_search_recursive(nums, target, left, mid - 1)
    else:
        return binary_search_recursive(nums, target, mid + 1, right)

### 2.3.2 代码的清晰性和效率优化

为了提高代码的清晰性，应该给循环和递归函数提供明确的参数说明，并为算法的主要步骤添加适当的注释。同时，可以通过避免不必要的计算和保持一致的代码风格来优化代码的效率。

下面是一个优化后的循环实现示例：

def binary_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2  # 避免溢出
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

在这个例子中，通过计算`left + (right - left) // 2`代替`(left + right) // 2`避免了可能出现的整数溢出。

以上就是对二分搜索算法深入理解的部分内容。通过对理论基础、变种技巧、以及实现细节的讨论，我们可以更好地掌握这一基本算法，并在实际问题中灵活运用。

# 3. 二分搜索在Codeforces中的实战应用

## 3.1 二分搜索在算法题中的典型应用场景

### 3.1.1 搜索问题的参数化

在算法竞赛如Codeforces中，二分搜索常用于参数化问题，即问题的解可以表示为某个参数的连续函数，而这个函数是单调的。通过对参数进行二分搜索，可以在高效率的情况下求解出问题的准确答案。

比如，在处理涉及“最大满足”问题时，我们常常需要找到一个临界值，使得满足条件的解的数量最多，这个值往往可以通过二分搜索来快速确定。具体来说，我们定义一个函数来判断某个参数值是否满足条件，然后通过二分搜索找到最优解。

代码示例：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, k;
int a[100005];

bool isValid(int mid) {
    int cnt = 0, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        sum += a[i];
        if (sum >= mid) {
            ++cnt;
            sum = 0;
        }
    }
    return cnt >= k;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    sort(a, a + n);
    int left = 0, right = 1e9;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left + 1) / 2;
        if (isValid(mid)) left = mid;
        else right = mid - 1;
    }
    cout << left << endl;
    return 0;
}

### 3.1.2 与线段树和树状数组结合的题目

线段树和树状数组都是解决区间查询和更新问题的强大数据结构。在一些问题中，将二分搜索与这两种数据结构结合起来，可以达到惊人的效果。

例如，考虑这样的问题：给定一个数组，多次操作，每次操作可以将数组中某个区间内的元素增加或减少一个值。在这样的背景下，要求每次操作之后回答一个查询：数组中是否至少有一个元素的值超过某个特定的阈值。这个问题可以通过在线段树中使用二分搜索来高效解决。

示例代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

struct Node {