【信号处理技巧】：MATLAB小波分析在地基沉降预测模型中的运用

# 1. MATLAB小波分析概述

小波分析是一种多尺度的信号分析方法，它能提供时间和频率信息，克服了傅里叶变换在处理非平稳信号方面的局限性。MATLAB提供了强大的小波分析工具箱，使得研究人员能够在信号处理、图像处理和数据分析等领域中轻松地进行小波变换和分析。本章将简要介绍MATLAB小波分析的基本概念、工具箱以及它的主要应用领域。通过本章的学习，读者将获得对MATLAB小波分析的初步认识，并为进一步深入了解和实际应用打下坚实的基础。

接下来的章节将详细探讨小波变换的理论基础，包括连续小波变换和离散小波变换，以及小波分析的关键技术，例如多分辨率分析和小波包分析。这将为深入理解小波分析在信号处理中的具体应用提供必要的理论支撑。

# 2. MATLAB小波分析理论基础

### 2.1 小波变换的基本概念

小波变换是现代信号处理的重要工具之一，它在频域和时域都提供了良好的局部分析能力，因此在许多领域都有广泛的应用。

#### 2.1.1 连续小波变换

连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种将信号分解为小波基函数的线性变换。每个小波基函数都是通过原始小波的平移和缩放生成的。形式化地，连续小波变换定义为：

\[ W(a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi^* \left( \frac{t - b}{a} \right) dt \]

其中，\( x(t) \) 是待分析的信号，\( \psi(t) \) 是母小波函数，\( \psi^*(t) \) 表示母小波函数的复共轭，\( a \) 和 \( b \) 分别是缩放和平移参数。

在MATLAB中，连续小波变换可以通过`cwt`函数实现：

% 生成信号
Fs = 1000; % 采样频率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
x = cos(2*pi*30*t) + 0.5*sin(2*pi*60*t);

% 连续小波变换
[waveletCoefs, scales] = cwt(x, Fs);

% 绘制小波系数图
contour(t, scales, abs(waveletCoefs));

#### 2.1.2 离散小波变换

离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）是连续小波变换的离散版本，它在时域和频域上均是离散的。DWT通常用于信号压缩和去噪，其缩放和平移参数通常取为2的幂次方。

在MATLAB中，离散小波变换可以通过`wavedec`函数实现：

% 使用小波分解函数
[C, L] = wavedec(x, 3, 'db1'); % 'db1'为Daubechies小波

% 重构信号
x_approx = waverec(C, L, 'db1');

### 2.2 小波变换的数学原理

#### 2.2.1 小波的尺度和位移

小波变换中的尺度参数 \( a \) 与信号频率有关，尺度越大，对应的小波基函数越宽，分解出的信号低频成分越多；尺度越小，对应的小波基函数越窄，分解出的信号高频成分越多。位移参数 \( b \) 表示在时间轴上的平移。

#### 2.2.2 小波函数和尺度函数

小波函数和尺度函数是一对正交函数，它们是小波分析的基础。小波函数 \( \psi(t) \) 用于信号的细节特征提取，尺度函数 \( \phi(t) \) 用于信号的粗略近似。在多分辨率分析中，通过交替使用小波函数和尺度函数，可以实现信号的逐级分解和重构。

### 2.3 小波分析的关键技术

#### 2.3.1 多分辨率分析

多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是一种小波分析方法，它可以逐级分解信号，使得信号在不同的分辨率下得到表示。通过这种方式，可以更有效地分析信号的局部特征，同时保持时域和频域信息的一致性。

在MATLAB中，多分辨率分析可以通过`wfilters`函数获取小波和尺度函数的滤波器系数，进而实现自定义的MRA过程。

#### 2.3.2 小波包分析

小波包分析（Wavelet Packet Analysis）是对传统小波变换的扩展，它提供了对信号不同频带进行更细致划分的能力。小波包可以为信号的每个频带提供一个最优的小波基函数，从而在信号的不同部分实现不同级别的精细分析。

在MATLAB中，小波包分析可以通过`wpdec`函数实现：

% 小波包分解
T = wpdec(x, 3, 'sym8');

% 绘制小波包树
plot(T);

通过本章节的介绍，我们已经对MATLAB小波分析的理论基础有了初步的了解，包括小波变换的基本概念、数学原理以及关键技术。在后续章节中，我们将具体探索MATLAB小波分析在信号处理中的应用。

# 3. MATLAB小波分析在信号处理中的应用

## 3.1 信号去噪

### 3.1.1 去噪原理与方法

信号去噪是小波分析在