利用零极点分布图对IIR滤波器进行性能分析

# 1. 引言

## 1.1 介绍IIR滤波器的概念和应用

IIR滤波器(Infinite Impulse Response Filter)是一类常见的数字滤波器，它具有无限脉冲响应特性，在信号处理中有着广泛的应用。与FIR滤波器相比，IIR滤波器可以用更少的参数达到相同的滤波效果，因此在实际应用中更为常见。

IIR滤波器采用递归结构，具有相对简单的实现方式，同时能够有效地在频域对信号进行处理。在音频处理、通信系统、生物医学信号处理等领域都有着重要的应用。

## 1.2 零极点分布图的作用及其在性能分析中的应用

零极点分布图是描述IIR滤波器特性的重要工具之一，它通过图形化的方式展示了滤波器的零点和极点分布情况。零极点分布图有助于工程师直观地理解滤波器的性能特征，通过分析零极点分布图可以评估滤波器的稳定性、频率响应特性、群延迟等重要指标。

在本文中，我们将重点介绍IIR滤波器的基本原理、零极点分布图的基本特性、以及如何利用零极点分布图进行IIR滤波器性能分析和优化。同时，我们还将通过示例与实验来验证所介绍的方法和原理。

# 2. IIR滤波器的基本原理

IIR滤波器（Infinite Impulse Response Filter）是一种数字滤波器，具有无限冲激响应的特点。它由差分方程描述，其输入和输出之间存在反馈。IIR滤波器相较于FIR滤波器具有更高的计算效率和更窄的滤波器特性。

### 2.1 IIR滤波器的结构

IIR滤波器可以采用直接形式、直接Ⅱ形式、级联形式等不同的结构实现。其中，直接形式是最简单和直观的实现方式，直接Ⅱ形式则可以减少运算量和存储量，提高效率。

以下是一个示例展示了IIR滤波器的直接形式的结构代码（使用Python语言）：

class IIRFilter:
    def __init__(self, b, a):
        self.b = b
        self.a = a
        self.x = [0] * len(b)
        self.y = [0] * len(a)
    def filter(self, x):
        y = 0
        self.x.insert(0, x)
        self.x = self.x[:len(self.b)]
        for i in range(len(self.b)):
            y += self.b[i] * self.x[i]
        for i in range(1, len(self.a)):
            y -= self.a[i] * self.y[i]
        self.x.pop(0)
        self.y.insert(0, y)
        self.y = self.y[:len(self.a)]
        return y

在以上代码中，IIRFilter类表示了一个IIR滤波器。在初始化中，传入滤波器的系数b和a。通过filter方法可以输入一个样本，输出滤波后的结果。

### 2.2 IIR滤波器的传递函数和差分方程

IIR滤波器的传递函数是描述滤波器输入和输出之间关系的函数。可以通过将滤波器的差分方程转化为传递函数来进行分析和设计。

以下是一个示例展示了如何根据IIR滤波器的差分方程计算传递函数（使用Python语言）：

import sympy as sp

def diff_eq_to_transfer_function(b, a):
    z = sp.symbols('z')
    B = sum([b[i] * z**(-i) for i in range(len(b))])
    A = sum([a[i] * z**(-i) for i in range(1, len(a))])
    H = B / A
    H = sp.simplify(H)
    return H

在以上代码中，diff_eq_to_transfer_function函数接受滤波器的系数b和a作为参数，并使用sympy库的symbols函数创建一个z符号表示单位延迟。然后，根据滤波器的差分方程转化为传递函数的表达式，并使用simplify函数简化表达式。

### 2.3 零极点分布图的描述方法

零极点分布图是描述滤波器性质的重要工具，可以直观地显示滤波器的零点和极点在复平面上的分布情况。通过观察零极点分布图，可以了解滤波器的稳定性、幅频响应特点等信息。

常见的描述零极点分布图的方法有两种：极坐标形式和直角坐标形式。

在极坐标形式中，零极点在复平面上的位置通过极径和极角表示，极径表示到原点的距离，极角表示与实轴的夹角。

在直角坐标形式中，零极点在复平面上的位置通过实部和虚部表示，虚部在复平面上的位置通常用叉号表示零点，圆圈表示极点。

以下是一个示例展示了如何绘制零极点分布图的函数（使用Python语言）：

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_pole_zero(b, a):
    zeros = np.roots(b)
    poles = np.roots(a)
    plt.scatter(zeros.real, zeros.imag, marker='x', color='b', label='Zeros')
    plt.scatter(poles.real, poles.imag, marker='o', color='r', label='Poles')
    plt.