MATLAB线性方程组求解的性能瓶颈：识别并解决10个关键因素

# 1. MATLAB线性方程组求解简介

线性方程组求解是数值计算中的一项基本任务，在科学计算、工程和金融等众多领域都有广泛的应用。MATLAB作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的线性方程组求解器，可以高效地求解各种规模和结构的线性方程组。

本章将介绍MATLAB线性方程组求解的基础知识，包括线性方程组的概念、MATLAB中线性方程组求解器的分类以及如何选择合适的求解器。

# 2. 线性方程组求解算法

线性方程组求解算法分为直接法和迭代法两大类。直接法通过有限次初等行变换将系数矩阵化为阶梯形或三角形，从而得到方程组的解。迭代法则通过不断迭代，逐步逼近方程组的解。

### 2.1 直接法

直接法的主要优点是算法稳定，精度高，但计算量较大，适用于规模较小的方程组。

#### 2.1.1 高斯消元法

高斯消元法是直接法中最经典的算法。其基本思想是通过初等行变换，将系数矩阵化为上三角形，然后从上到下回代求解方程组。

% 高斯消元法求解线性方程组
function x = gauss(A, b)
    % 参数说明：
    % A: 系数矩阵
    % b: 右端常数向量
    % 逻辑分析：
    % 1. 将系数矩阵 A 和右端常数向量 b 扩展为增广矩阵
    % 2. 对增广矩阵进行初等行变换，化为上三角形
    % 3. 从上到下回代求解方程组
    % 代码执行：
    [m, n] = size(A);
    if m ~= n
        error('系数矩阵必须为方阵');
    end
    % 扩展为增广矩阵
    aug = [A, b];
    % 初等行变换
    for i = 1:n
        % 将第 i 行化为全 0 行，除了第 i 个元素为 1
        for j = i+1:n
            factor = aug(j, i) / aug(i, i);
            aug(j, :) = aug(j, :) - factor * aug(i, :);
        end
    end
    % 回代求解
    x = zeros(n, 1);
    for i = n:-1:1
        x(i) = (aug(i, n+1) - aug(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / aug(i, i);
    end
end

#### 2.1.2 LU 分解法

LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积。然后，通过求解 L 和 U 的三角方程组，可以得到方程组的解。

% LU 分解法求解线性方程组
function x = lu(A, b)
    % 参数说明：
    % A: 系数矩阵
    % b: 右端常数向量
    % 逻辑分析：
    % 1. 对系数矩阵 A 进行 LU 分解
    % 2. 求解 L 和 U 的三角方程组，得到方程组的解
    % 代码执行：
    [n, n] = size(A);
    L = eye(n);
    U = A;
    % LU 分解
    for i = 1:n
        for j = i+1:n
            L(j, i) = U(j, i) / U(i, i);
            U(j, i:n) = U(j, i:n) - L(j, i) * U(i, i:n);
        end
    end
    % 求解 L 的三角方程组
    y = L \ b;
    % 求解 U 的三角方程组
    x = U \ y;
end

### 2.2 迭代法

迭代法的主要优点是计算量较小，适用于规模较大的方程组。但其算法稳定性较差，精度也较低。

#### 2.2.1 雅可比迭代法

雅可比迭代法是一种最简单的迭代法。其基本思想是将方程组分解为对角元素和非对角元素两部分，然后通过不断迭代，逐步逼近方程组的解。

% 雅可比迭代法求解线性方程组
function x = jacobi(A, b, tol, maxIter)
    % 参数说明：
    % A: 系数矩阵
    % b: 右端常数向量
    % tol: 迭代终止误差
    % maxIter: 最大迭代次数
    % 逻辑分析：
    % 1. 分解系数矩阵 A 为对角元素矩阵 D 和非对角元素矩阵 R
    % 2. 初始化迭代变量 x
    % 3. 进行迭代，直到达到终止条件
    % 代码执行：
    [n, n] = size(A);
    D = diag(A);
    R = A - D;
    x = zeros(n, 1);
    iter = 0;
    while iter < maxIter
        x_next = D \ (b - R * x);
        if norm(x_next - x) < tol
            break;
        end
        x = x_next;
        iter = iter + 1;
    end
    if iter >= maxIter
        warning('迭代未收敛');
    end
end

#### 2.2.2 高斯-赛德尔迭代法

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。其基本思想是将当前迭代的解代入非对角元素中，从而提高收敛速度。

% 高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组
function x = gaussSeidel(A, b, tol, maxIter)
    % 参数说明：
    % A: 系数矩阵
    % b: 右端常数向量
    % tol: 迭代终止误差
    % maxIter: 最大迭代次数
    % 逻辑分析：
    % 1. 分解系数矩阵 A 为对角元素矩阵 D 和非对角元素矩阵 R
    % 2. 初始化迭代变量 x
    % 3. 进行迭代，直到达到终止条件
    % 代码执行：
    [n, n] = size(A);
    D = diag(A);
    R = A - D;
    x = zeros(n, 1);
    iter = 0;