MATLAB线性方程组求解的直接方法：探索LU分解与高斯消去的奥秘

# 1. MATLAB线性方程组求解概述

线性方程组求解是科学计算中的基本问题之一，MATLAB作为一种强大的科学计算工具，提供了丰富的线性方程组求解方法。本章将对MATLAB线性方程组求解进行概述，介绍其基本概念、求解方法以及MATLAB实现。

# 2. 直接求解方法的理论基础

### 2.1 线性方程组的数学表示

线性方程组可以表示为以下形式：

Ax = b

其中：

* **A** 是一个 **m x n** 矩阵，其中 m 是方程组中方程的数量，n 是未知数的数量。
* **x** 是一个 **n x 1** 列向量，包含未知数。
* **b** 是一个 **m x 1** 列向量，包含方程组的常数项。

### 2.2 LU分解原理和算法

LU分解是一种将矩阵 **A** 分解为两个矩阵 **L** 和 **U** 的方法，其中 **L** 是一个下三角矩阵，**U** 是一个上三角矩阵。

**LU分解算法：**

1. **初始化：**将 **A** 复制到 **L** 和 **U** 中。
2. **主元消去：**对于 **i** 从 1 到 **n-1**：
* 对于 **j** 从 **i+1** 到 **m**：
* **L(j, i) = A(j, i) / A(i, i)**
* **U(i, j) = A(i, j) - L(j, i) * A(i, i)**
* **A(j, :) = A(j, :) - L(j, i) * A(i, :)**

**LU分解示例：**

考虑以下矩阵 **A**：

A = [2 1 1; 4 3 2; 8 7 4]

应用 LU 分解算法后，得到以下矩阵 **L** 和 **U**：

L = [1 0 0; 2 1 0; 4 3 1]
U = [2 1 1; 0 2 1; 0 0 2]

**LU分解的优点：**

* **求解线性方程组：**LU分解可以将求解线性方程组 **Ax = b** 转换为求解两个三角方程组 **Ly = b** 和 **Ux = y**，这比直接求解 **Ax = b** 更容易。
* **矩阵求逆：**LU分解