网络流在资源分配中的应用：最大流问题与经济学的深度融合

# 1. 网络流理论基础

**网络流的定义**

网络流是指在有向图中，沿着每条边流动一定流量，使得每个节点的流入流量等于流出流量。网络流问题通常涉及到寻找最大流或最小流。

**网络流的建模**

网络流问题通常使用有向图来建模，其中：

* 节点表示资源或任务
* 边表示资源或任务之间的连接
* 边上的容量表示资源或任务的处理能力

# 2. 最大流问题及其求解算法

### 2.1 最大流问题的定义和建模

**定义：**

最大流问题是指在给定的网络中，求解从源点到汇点的最大流值。网络由节点和边组成，其中源点和汇点是两个特殊节点，表示流的起点和终点。每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流。

**建模：**

最大流问题可以抽象为一个图论模型，其中节点表示网络中的节点，边表示网络中的边。每个边有一个权重，表示该边的容量。源点和汇点分别用特殊符号表示。

### 2.2 福特-福尔克森算法

**算法原理：**

福特-福尔克森算法是一种贪心算法，通过不断寻找增广路径（从源点到汇点的路径，其容量大于 0）来增加流值。当找不到增广路径时，算法终止。

**算法步骤：**

1. **初始化：**将所有边的流值设为 0。
2. **寻找增广路径：**使用深度优先搜索或广度优先搜索算法寻找从源点到汇点的增广路径。
3. **更新流值：**沿增广路径，将每条边的流值增加到其容量。
4. **更新残余网络：**更新网络中的残余容量，即每条边的容量减去其流值。
5. **重复步骤 2-4：**直到找不到增广路径。

### 2.3 埃德蒙兹-卡普算法

**算法原理：**

埃德蒙兹-卡普算法也是一种贪心算法，但它使用了一种称为“最大流阻塞”的策略。该策略通过寻找从源点到汇点的最大流阻塞路径（从源点到汇点的路径，其容量等于其最小容量）来增加流值。

**算法步骤：**

1. **初始化：**将所有边的流值设为 0。
2. **寻找最大流阻塞路径：**使用深度优先搜索或广度优先搜索算法寻找从源点到汇点的最大流阻塞路径。
3. **更新流值：**沿最大流阻塞路径，将每条边的流值增加到其最小容量。
4. **更新残余网络：**更新网络中的残余容量，即每条边的容量减去其流值。
5. **重复步骤 2-4：**直到找不到最大流阻塞路径。

**代码块：**

def edmonds_karp(graph, source, sink):
    """
    埃德蒙兹-卡普算法求解最大流问题。

    参数：
        graph: 网络图，用字典表示，其中键是节点，值是与该节点相连的边的字典。
        source: 源点。
        sink: 汇点。

    返回：
        最大流值。
    """

    # 初始化流值和残余容量
    flow = {edge: 0 for edge in graph}
    residual_capacity = {edge: edge[1] for edge in graph}

    # 寻找增广路径
    while True:
        path = find_augmenting_path(graph, source, sink, residual_capacity)
        if path is None:
            break

        # 更新流值和残余容量
        min_capacity = min(residual_capacity[edge] for edge in path)
        for edge in path:
            flow[edge] += min_capacity
            residual_capacity[edge] -= min_capacity
            residual_capacity[(edge[1], edge[0])] += min_capacity

    # 计算最大流值
    max_flow = 0
    for edge in graph[source]:
        max_flow += flow[edge]

    return max_flow

**代码逻辑解读：**

* 函数 `edmonds_karp` 接受网络图、源点和汇点作为参数，返回