正割函数图像的极限与连续性：深入探索函数的本质

# 1. 正割函数图像的极限

正割函数，记作 sec(x)，定义为正弦函数的倒数，即 sec(x) = 1/cos(x)。在定义域内，正割函数图像的极限存在于所有点，且等于无穷大。

**证明：**

对于任意 x ∈ R，有：

lim_(x->x_0) sec(x) = lim_(x->x_0) 1/cos(x) = 1/lim_(x->x_0) cos(x)

由于余弦函数在实数范围内有界，因此 lim_(x->x_0) cos(x) 存在且不为 0。因此，lim_(x->x_0) sec(x) = 1/∞ = ∞。

# 2. 正割函数图像的连续性

### 2.1 正割函数的定义域和值域

#### 2.1.1 正割函数的定义

正割函数，记作 sec x，定义为 x 的余弦函数的倒数：

def sec(x):
  """计算正割函数的值。

  参数：
    x：输入角度，单位为弧度。

  返回：
    正割函数的值。
  """

  return 1 / cos(x)

#### 2.1.2 正割函数的值域

由于余弦函数的值域为 [-1, 1]，因此正割函数的值域为：

[-∞, -1] ∪ [1, ∞]

### 2.2 正割函数图像的间断点

#### 2.2.1 正割函数的奇点

正割函数在余弦函数为零的点处有奇点。余弦函数为零的点为：

x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z

因此，正割函数的奇点为：

x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z

#### 2.2.2 正割函数图像的无穷渐近线

当 x 趋于奇点时，正割函数的值趋于无穷大。因此，正割函数图像的无穷渐近线为：

x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z

### 2.2.3 正割函数图像的连续性

正割函数在奇点处不连续，在其他点处连续。因此，正割函数图像在奇点处有间断点。

**表格：正割函数的定义域、值域和间断点**

| 属性 | 值 |
|---|---|
| 定义域 | R - {(2n + 1)π/2 | n ∈ Z} |
| 值域 | [-∞, -1] ∪ [1, ∞] |
| 间断点 | (2n + 1)π/2, n ∈ Z |

### 2.2.4 正割函数图像的绘制

正割函数图像可以利用余弦函数图像绘制。具体步骤如下：

1. 绘制余弦函数图像。
2. 在余弦函数图像的零点处画出垂直渐近线。
3. 将余弦函数图像的正部分取倒数，得到正割函数图像。

**示例：绘制正割函数图像**

绘制 x ∈ [-π, π] 区间内的正割函数图像。

1. 绘制余弦函数图像：

graph LR
    subgraph 余弦函数
        A[cos(x)] --> B[0]
        B --> C[π]
        style A fill:#0000FF,stroke:#0000FF
        style B fill:#FF0000,stroke:#FF0000
        style C fill:#000000,stroke:#000000
    end

2. 在余弦函数图像的零点处画出垂直渐近线：