揭示双曲余弦函数的渐近线与极限：函数行为的边界

# 1. 双曲余弦函数的定义和性质

**定义：**
双曲余弦函数，记为 cosh(x)，定义为：

cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

**性质：**
* 奇函数：cosh(-x) = cosh(x)
* 单调递增：x > 0 时，cosh(x) > 0 且单调递增
* 偶函数：cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
* 与双曲正弦函数的关系：cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1

# 2. 渐近线分析

### 2.1 水平渐近线

**定义：**

水平渐近线是指当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数值趋近于某个常数。

**求法：**

设 f(x) 为一个函数，则 f(x) 具有水平渐近线 y = L 当且仅当：

lim(x->∞) f(x) = L

或

lim(x->-∞) f(x) = L

**例题：**

求 f(x) = (x^2 - 1) / (x + 1) 的水平渐近线。

**解：**

lim(x->∞) f(x) = lim(x->∞) (x^2 - 1) / (x + 1)
               = lim(x->∞) (x^2 / x + (-1) / x)
               = lim(x->∞) x - lim(x->∞) 1/x
               = ∞ - 0
               = ∞

lim(x->-∞) f(x) = lim(x->-∞) (x^2 - 1) / (x + 1)
               = lim(x->-∞) (x^2 / x + (-1) / x)
               = lim(x->-∞) x - lim(x->-∞) 1/x
               = -∞ - 0
               = -∞

因此，f(x) 没有水平渐近线。

### 2.2 垂直渐近线

**定义：**

垂直渐近线是指当