双曲余弦函数在工程学中的应用：结构分析与流体动力学的基石

# 1. 双曲余弦函数的数学基础**

双曲余弦函数（cosh）是数学中的一种基本函数，它与三角函数余弦函数（cos）类似，但具有不同的数学特性。

**定义：**
双曲余弦函数定义为：

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

其中，e 是自然对数的底数，约为 2.71828。

**性质：**
双曲余弦函数具有以下主要性质：
- 它是一个偶函数，即 cosh(-x) = cosh(x)。
- 它的导数为 sinh(x)，即 d/dx cosh(x) = sinh(x)。
- 它的积分函数为 sinh(x)，即 ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C。

# 2. 双曲余弦函数在结构分析中的应用

双曲余弦函数在结构分析中具有广泛的应用，特别是在弹性结构的应力分析和非弹性结构的屈曲分析中。

### 2.1 弹性结构的应力分析

#### 2.1.1 杆件的轴向应力

杆件的轴向应力是杆件内部由于外力作用而产生的沿杆件长度方向的应力。对于弹性杆件，其轴向应力与杆件的轴向力成正比，与杆件的截面积成反比。

import sympy
from sympy import *

# 定义杆件的长度、截面积和轴向力
L = symbols("L")  # 杆件长度
A = symbols("A")  # 杆件截面积
P = symbols("P")  # 杆件轴向力

# 计算杆件的轴向应力
sigma = P / A

# 输出杆件的轴向应力表达式
print("杆件的轴向应力：", sigma)

**逻辑分析：**

* `symbols()`函数用于定义符号变量。
* `/`运算符用于计算两个符号变量的商。
* `print()`函数用于输出结果。

**参数说明：**

* `L`：杆件长度
* `A`：杆件截面积
* `P`：杆件轴向力
* `sigma`：杆件轴向应力

#### 2.1.2 薄壁结构的弯曲应力

薄壁结构的弯曲应力是薄壁结构内部由于弯矩作用而产生的沿壁厚方向的应力。对于弹性薄壁结构，其弯曲应力与弯矩成正比，与壁厚成反比。

import sympy
from sympy import *

# 定义薄壁结构的壁厚、弯矩和截面模量
t = symbols("t")  # 壁厚
M = symbols("M")  # 弯矩
I = symbols("I")  # 截面模量

# 计算薄壁结构的弯曲应力
sigma = M * t / I

# 输出薄壁结构的弯曲应力表达式
print("薄壁结构的弯曲应力：", sigma)

**逻辑分析：**

* `symbols()`函数用于定义符号变量。
* `*`运算符用于计算两个符号变量的积。
* `/`运算符用于计算两个符号变量的商。
* `print()`函数用于输出结果。

**参数说明：**

* `t`：壁厚
* `M`：弯矩
* `I`：截面模量
* `sigma`：薄壁结构的弯曲应力

### 2.2 非弹性结构的屈曲分析

#### 2.2.1 杆件的欧拉屈曲

杆件的欧拉屈曲是指杆件在轴向力作用下发生弯曲变形，最终导致杆件失稳的现象。对于弹性杆件，其欧拉屈曲载荷与杆件的长度、截面积和弹性模量有关。

graph LR
    subgraph 杆件的欧拉屈曲载荷
        A[P_c