整数线性规划：解决整数变量的线性规划难题，拓展应用范围

# 1. 整数线性规划概述

整数线性规划（ILP）是一种数学优化技术，用于解决涉及整数变量的线性规划问题。与传统的线性规划不同，ILP 要求变量只能取整数值。

ILP 在现实世界中有着广泛的应用，包括生产计划、物流和金融。它可以帮助优化决策，例如确定最佳的生产计划、最优的运输路线或最优的投资组合。

ILP 问题通常通过分支定界法或切割平面法等求解方法来求解。这些方法通过系统地探索问题的可行解空间，逐步逼近最优解。

# 2. 整数线性规划的理论基础

### 2.1 整数线性规划的数学模型

整数线性规划（ILP）是一种线性规划问题，其中决策变量被限制为整数。ILP 的数学模型可以表示为：

最大化/最小化 z = c^T x
约束条件：
Ax ≤ b
x ≥ 0
x ∈ Z^n

其中：

* z 是目标函数
* c 是目标函数系数向量
* x 是决策变量向量
* A 是约束矩阵
* b 是约束向量
* Z^n 是 n 维整数集

### 2.2 整数线性规划的求解方法

#### 2.2.1 分支定界法

分支定界法是一种求解 ILP 的经典方法。它通过将问题分解为子问题并逐步解决子问题来工作。在每个子问题中，一个决策变量被固定为整数，然后使用线性规划求解子问题。如果子问题的最优解是整数，则它就是 ILP 的最优解。否则，子问题被进一步分解，直到找到整数最优解。

#### 2.2.2 切割平面法

切割平面法是一种通过添加约束来加强 ILP 模型的方法。这些约束被称为切割平面，它们可以帮助线性规划求解器找到整数最优解。切割平面法通常与分支定界法结合使用，以提高求解效率。

#### 2.2.3 求解器使用

求解器是用于求解 ILP 问题的软件工具。有许多商业和开源求解器可用，例如 Gurobi、CPLEX、GLPK 和 SCIP。求解器使用各种算法和启发式方法来找到整数最优解。

# 3.1 生产计划与调度

#### 3.1.1 生产计划模型

生产计划模型旨在确定在给定时间段内生产多少种产品，以满足需求并最大化利润或其他目标。整数线性规划模型通常用于解决生产计划问题，其中决策变量（即生产数量）必须是整数。

以下是一个整数线性规划模型的示例，用于生产计划：

最大化 Z = ∑(i=1 to n) p_i * x_i
约束条件：
    ∑(i=1 to n) a_i * x_i ≤ b
    x_i >= 0 且为整数

其中：

* `Z` 是目标函数，表示利润或其他目标
* `p_i` 是第 `i` 种产品的单价
* `x_i` 是第 `i` 种产品的生产数量
* `a_i` 是第 `i` 种产品消耗的资源量
* `b` 是资源的可用量

#### 3.1.2 调度优化算法

调度优化算法用于确定在给定的生产计划下，如何安排生产活动以最大化效率和利用率。整数线性规划模型也可以用于解决调度问题，其中决策变量（即生产活动的顺序和时间）必须是整数。

以下是一个整数线性规划模型的示例，用于调度优化：

最小化 Z = ∑(i=1 to n) w_i * t_i
约束条件：
    t_i ≥ t_j + p_j if i depends on j
    t_i ≥ 0 且为整数

其中：

* `Z`