时域和频域的桥梁：拉普拉斯变换拓展三角波分析视野

# 1. 拉普拉斯变换的基本原理**

拉普拉斯变换是一种数学工具，它将时域信号转换为复频域信号。它在信号分析、控制系统和电路分析等领域有着广泛的应用。

拉普拉斯变换的定义如下：

F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt

其中：

* F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换
* f(t) 是时域信号
* s 是复频率变量

拉普拉斯变换具有以下性质：

* 线性：L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
* 时移：L{f(t - a)} = e^(-as) F(s)
* 频率微分：L{f'(t)} = sF(s) - f(0+)
* 频率积分：L{∫[0, t] f(τ) dτ} = F(s)/s

# 2.1 拉普拉斯变换的定义和性质

### 2.1.1 拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换是一种积分变换，将时域函数 f(t) 转换为复频域函数 F(s)。其定义如下：

F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt

其中：

* s 为复变量，s = σ + iw，σ 为实部，w 为虚部
* f(t) 为时域函数

### 2.1.2 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换具有以下性质：

| 性质 | 表达式 |
|---|---|
| 线性性 | L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)} |
| 微分 | L{f'(t)} = sF(s) - f(0+) |
| 积分 | L{∫[0, t] f(τ) dτ} = F(s)/s |
| 乘法 | L{f(t)g(t)} = F(s) * G(s) |
| 平移 | L{f(t - a)u(t - a)} = e^(-as)F(s) |
| 缩放 | L{f(at)} = (1/a)F(s/a) |
| 初值定理 | lim(s->∞) sF(s) = f(0+) |
| 终值定理 | lim(s->0) sF(s) = lim(t->∞) f(t) |

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 时域函数
def f(t):
    return np.sin(2 * np.pi * t)

# 拉普拉斯变换
def L(f):
    s = np.linspace(0, 10, 1000)
    F = np.zeros_like(s)
    for i in range(len(s)):