叉积与共线向量：探究叉积在共线向量情况下的特殊性

# 1. 叉积的定义与性质

叉积，又称外积，是线性代数中的一种二元运算，用于计算两个向量的垂直分量。其定义如下：

a × b = |a| |b| sin(θ) n

其中：

* `a` 和 `b` 是两个向量
* `|a|` 和 `|b|` 分别是 `a` 和 `b` 的长度
* `θ` 是 `a` 和 `b` 之间的夹角
* `n` 是 `a` 和 `b` 所在平面的法向量，其方向由右手定则决定

叉积具有以下性质：

* **反交换律：** `a × b = -b × a`
* **结合律：** `(a × b) × c = a × (b × c)`
* **分配律：** `a × (b + c) = a × b + a × c`
* **标量倍数：** `k(a × b) = (ka) × b = a × (kb)`

# 2. 叉积与共线向量的关系

### 2.1 共线向量的叉积为零

两个共线向量之间的叉积为零向量。这是因为共线向量在同一平面内，它们的叉积垂直于该平面。由于零向量垂直于任何平面，因此共线向量的叉积为零。

import numpy as np

# 定义两个共线向量
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = 2 * v1

# 计算叉积
cross_product = np.cross(v1, v2)

# 打印叉积结果
print(cross_product)  # 输出：[0, 0, 0]

### 2.2 共线向量的叉积与基底向量的关系

如果两个共线向量与基底向量 i、j、k 中的一个共线，那么它们的叉积与该基底向量平行。

**证明：**

设两个共线向量为 v1 = a * i 和 v2 = b * i，其中 a 和 b 是标量。则它们的叉积为：

v1 × v2 = (a * i) × (b * i) = (a * b) * (i × i) = 0

由于 i × i = 0，因此共线向量的叉积为零向量。

### 2.3 共线向量的叉积与向量长度的关系

如果两个共线向量的长度相等，那么它们的叉积为零向量。这是因为共线向量在同一平面内，它们的叉积垂直于该平面。由于零向量垂直于任何平面，因此共线向量长度相等时的叉积为零。

# 定义两个长度相等的共线向量
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([2, 4, 6])

# 计算叉积
cross_product = np.cross(v1, v2)

# 打印叉积结果
print(cross_product)  # 输出：[0, 0, 0]

# 3.1 共线向量的判断