机器学习中的特征值分解:MATLAB实战秘籍
发布时间: 2024-06-06 14:42:23 阅读量: 89 订阅数: 49
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# 1. 特征值分解理论基础
特征值分解是线性代数中一种重要的数学工具,它可以将一个矩阵分解为一组特征向量和对应的特征值。特征值分解在许多领域都有着广泛的应用,包括机器学习、图像处理和信号处理。
在本章中,我们将介绍特征值分解的理论基础。我们将讨论特征值和特征向量的概念,以及特征值分解的几何意义。此外,我们还将介绍特征值分解在降维中的应用。
# 2. MATLAB中特征值分解的实践应用
### 2.1 特征值分解函数eig和svd
#### 2.1.1 eig函数的用法和参数
MATLAB中用于特征值分解的函数为`eig`,其用法如下:
```
[V, D] = eig(A)
```
其中:
* `A`:待分解的方阵
* `V`:特征向量矩阵,每一列为一个特征向量
* `D`:对角阵,对角线元素为特征值
`eig`函数还可以接受以下可选参数:
* `'vector'`:仅返回特征向量,不返回特征值
* `'values'`:仅返回特征值,不返回特征向量
#### 2.1.2 svd函数的用法和参数
MATLAB中用于奇异值分解的函数为`svd`,其用法如下:
```
[U, S, V] = svd(A)
```
其中:
* `A`:待分解的矩阵
* `U`:左奇异向量矩阵,每一列为一个左奇异向量
* `S`:对角阵,对角线元素为奇异值
* `V`:右奇异向量矩阵,每一列为一个右奇异向量
`svd`函数还可以接受以下可选参数:
* `'econ'`:仅返回非零奇异值和对应的奇异向量
* `'svd'`:返回所有奇异值和奇异向量
### 2.2 特征值分解的几何意义和应用
#### 2.2.1 特征向量和特征值
特征向量是线性变换下保持方向不变的向量,而特征值则是该线性变换下特征向量伸缩的倍数。对于方阵`A`,其特征向量和特征值满足以下方程:
```
A * v = λ * v
```
其中:
* `A`:方阵
* `v`:特征向量
* `λ`:特征值
#### 2.2.2 特征分解在降维中的应用
特征值分解可以用于降维,即从高维空间将数据投影到低维空间。具体做法是选择方阵`A`的`k`个最大特征值对应的特征向量作为投影矩阵,将数据`X`投影到低维空间:
```
Y = X * V(:, 1:k)
```
其中:
* `X`:高维数据
* `V`:特征向量矩阵
* `Y`:低维数据
通过降维,可以减少数据的维度,同时保留最重要的信息。
# 3. 机器学习中的特征值分解
### 3.1 主成分分析(PCA)
#### 3.1.1 PCA的原理和算法
主成分分析(PCA)是一种无监督降维技术,其目标是将高维数据投影到低维空间中,同时保留尽可能多的原始数据信息。PCA的原理是找到原始数据协方差矩阵的特征向量,并将这些特征向量作为降维后的新坐标轴。
PCA算法步骤如下:
1. **中心化数据:**将原始数据减去其均值,使其均值为0。
2. **计算协方差矩阵:**计
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