广义特征值问题求解：MATLAB实战教程

# 1. 广义特征值问题的理论基础

广义特征值问题是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，如线性代数、数值分析和机器学习。广义特征值问题可以表述为：

给定两个矩阵 **A** 和 **B**，求解一组标量 λ 和非零向量 **x**，使得以下方程成立：

Ax = λBx

其中，**A** 和 **B** 是方阵，**x** 是列向量。

广义特征值问题与标准特征值问题密切相关，后者对应于特殊情况 B = I（单位矩阵）。广义特征值问题的一个重要性质是，**A** 和 **B** 的特征值是相同的，但特征向量可能不同。

# 2. MATLAB中广义特征值问题的求解方法

广义特征值问题在MATLAB中可以通过多种方法求解，其中最常用的方法包括eig()函数、eigs()函数和svds()函数。

### 2.1 eig()函数的基本用法

eig()函数是MATLAB中求解广义特征值问题的基本函数。其语法如下：

[V, D] = eig(A, B)

其中：

* A：系数矩阵
* B：权重矩阵
* V：特征向量矩阵
* D：特征值矩阵

eig()函数的求解过程如下：

1. 求解矩阵B的Cholesky分解：B = LL'
2. 将广义特征值问题转化为标准特征值问题：L^-1 * A * L^-1 * V = V * D

### 2.1.1 求解实对称矩阵的广义特征值

对于实对称矩阵，eig()函数可以快速求解其广义特征值。此时，权重矩阵B为单位矩阵，即B = I。

A = [2, 1; 1, 2];
B = eye(2);
[V, D] = eig(A, B);

执行上述代码后，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。

### 2.1.2 求解复矩阵的广义特征值

对于复矩阵，eig()函数也可以求解其广义特征值。此时，权重矩阵B可以是任意的正定矩阵。

A = [2+1i, 1; 1, 2-1i];
B = [1, 0; 0, 2];
[V, D] = eig(A, B);

执行上述代码后，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。

### 2.2 eigs()函数的高级用法

eigs()函数是MATLAB中求解广义特征值问题的更高级函数。其语法如下：

[V, D] = eigs(A, B, k)

其中：

* A：系数矩阵
* B：权重矩阵
* k：求解的特征值个数

eigs()函数的求解过程如下：

1. 求解矩阵B的Cholesky分解：B = LL'
2. 将广义特征值问题转化为标准特征值问题：L^-1 * A * L^-1 * V = V * D
3. 使用迭代方法求解标准特征值问题的前k个特征值和特征向量

### 2.2.1 求解大型稀疏矩阵的广义特征值

eigs()函数可以求解大型稀疏矩阵的广义特征值。此时，可以使用稀疏矩阵存储格式来提高求解效率。

A = sparse([2, 1; 1, 2]);
B = sparse(eye(2));
[V, D] = eigs(A, B, 2);

执行上述代码后，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。

### 2.2.2 求解带权重的广义特征值

eigs()函数还可以求解带权重的广义特征值。此时，权重矩阵B可以是任意的正定矩阵。

A = [2, 1; 1, 2];
B = [1, 0; 0, 2];
[V, D] = eigs(A, B, 2);

执行上述代码后，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。

### 2.3 svds()函数的应用

svds()函数是MATLAB中求解奇异值分解的函数。其语法如下：

[U, S, V] = svds(A, k)

其中：

* A：矩阵
* k：求解的奇异值个数
* U：左奇异向量矩阵
* S：奇异值矩阵
* V：右奇异向量矩阵

svds()函数的求解过程如下：

1. 求解矩阵A的奇异值分解：A = U * S * V'
2. 取奇异值矩阵S的前k个奇异值

### 2.3.1 求解奇异值分解

svds()函数可以求解任意矩阵的奇异值分解。

A = [2, 1; 1, 2];
[U, S, V] = svds(A, 2);

执行上述代码后，U为左奇异向量矩阵，S为奇异值矩阵，V为右奇异向量矩阵。

### 2.3.2 求解广义特征值

svds()函数也可以求解广义特征值问题