揭秘MATLAB三维图形绘制的幕后秘密：坐标系、变换和投影大揭秘

# 1. MATLAB三维图形绘制基础**

MATLAB中三维图形绘制是可视化和分析复杂数据的强大工具。它允许用户创建逼真的三维场景，包括对象、光照和阴影。

为了绘制三维图形，首先需要定义一个三维坐标系。MATLAB使用右手笛卡尔坐标系，其中x轴指向右侧，y轴指向上方，z轴指向屏幕外。

为了表示三维点和对象，MATLAB使用齐次坐标系。齐次坐标系在笛卡尔坐标系中添加了一个额外的分量，称为w。w分量通常设置为1，但它允许对对象进行平移、旋转和缩放等几何变换。

# 2. 坐标系与变换

### 2.1 笛卡尔坐标系与齐次坐标系

**笛卡尔坐标系**

笛卡尔坐标系是一种三维空间的坐标系，由三个正交轴（x、y、z）组成，每个轴代表一个维度。点在笛卡尔坐标系中的位置由三个坐标（x、y、z）表示。

**齐次坐标系**

齐次坐标系是一种扩展的笛卡尔坐标系，在笛卡尔坐标系的基础上添加了一个额外的维度（w）。齐次坐标系中的点由四个坐标（x、y、z、w）表示。

齐次坐标系与笛卡尔坐标系之间的关系如下：

[x, y, z, 1] = [x, y, z, w]

其中，w 通常设置为 1。

### 2.2 几何变换：平移、旋转和缩放

几何变换是将三维空间中的对象从一个位置移动到另一个位置或改变其大小或方向的操作。MATLAB 提供了多种函数来执行几何变换，包括平移、旋转和缩放。

#### 2.2.1 平移变换

平移变换将对象沿 x、y 或 z 轴移动指定的距离。平移变换矩阵如下：

T = [1 0 0 tx;
     0 1 0 ty;
     0 0 1 tz;
     0 0 0 1]

其中，tx、ty 和 tz 分别表示沿 x、y 和 z 轴的平移距离。

#### 2.2.2 旋转变换

旋转变换将对象绕 x、y 或 z 轴旋转指定的角度。旋转变换矩阵如下：

**绕 x 轴旋转**

Rx = [1 0 0 0;
      0 cos(theta) -sin(theta) 0;
      0 sin(theta) cos(theta) 0;
      0 0 0 1]

**绕 y 轴旋转**

Ry = [cos(theta) 0 sin(theta) 0;
      0 1 0 0;
      -sin(theta) 0 cos(theta) 0;
      0 0 0 1]

**绕 z 轴旋转**

Rz = [cos(theta) -sin(theta) 0 0;
      sin(theta) cos(theta) 0 0;
      0 0 1 0;
      0 0 0 1]

其中，theta 表示旋转角度。

#### 2.2.3 缩放变换

缩放变换将对象沿 x、y 或 z 轴缩放指定的因子。缩放变换矩阵如下：

S = [sx 0 0 0;
     0 sy 0 0;
     0 0 sz 0;
     0 0 0 1]

其中，sx、sy 和 sz 分别表示沿 x、y 和 z 轴的缩放因子。

### 2.3 复合变换与矩阵表示

复合变换是将多个几何变换组合在一起应用于对象。复合变换矩阵是各个变换矩阵的乘积。例如，将对象先平移，再旋转，再缩放的复合变换矩阵如下：

M = T * R * S

其中，T、R 和 S 分别是平移、旋转和缩放变换矩阵。

使用复合变换矩阵可以一次性应用多个变换，简化了三维图形绘制中的变换操作。

# 3. 投影与视口

### 3.1 投影类型：正交投影与透视投影

投影是将三维场景映射到二维平面上的过程。在计算机图形学中，有两种主要的投影类型：正交投影和透视投影。

#### 3.1.1 正交投影

正交投影沿平行于投影平面的方向将三维点投影到二维平面上。这种投影保留了三维场景的形状和比例，但会产生平坦的图像。

**优点：**

* 保留形状和比例
* 计算简单

**缺点：**

* 缺乏深度感

#### 3.1.2 透视投影

透视投影模拟人眼的视角，它将三维点投影到一个视锥体上，然后将视锥体截断并投影到二维平面上。这种投影产生了具有深度感的图像。

**优点：**

* 产生逼真的深度感
* 更接近人眼的视角

**缺点：**

* 计算更复杂
* 可能扭曲形状和比例

### 3.2 视口：从世界坐标到屏幕坐标

视口定义了三维场景在二维屏幕上的显示区域。它将世界坐标（三维场景中的坐标）转换为屏幕坐标（二维屏幕上的坐标）。

#### 3.2.1 视口变换

视口变换将世界坐标转换为视口坐标，它涉及以下步骤：

1. 将世界坐标平移到视口原点
2. 缩放世界坐标以适应视口大小
3. 将世界坐标投影到视口平面

#### 3.2.2 视口裁剪

视口裁剪将超出视口范围的几何体部分剔除。它涉及以下步骤：

1. 定义视口边界
2. 检查几何体是否超出边界
3. 剔除超出边界的几何体部分

**代码块：视口变换和裁剪**

% 定义视口边界
viewport = [0, 100, 0, 100];

% 定义世界坐标
world_points = [
    0, 0, 0;
    10, 0, 0;
    0, 10, 0;
    10, 10, 0;
];

% 视口变换
viewport_points = viewportTransform(world_points, viewport);

% 视口裁剪
clipped_points = viewportClip(viewport_points, viewport);

**逻辑分析：**

* `viewportTransform` 函数将世界坐标转换为视口坐标。
* `viewportClip` 函数将超出视口范围的几何体部分剔除。
* `viewport` 参数定义了视口边界。
* `world_points` 参数包含了世界坐标。
* `viewport_points` 变量存储了视口坐标。
* `clipped_points` 变量存储了裁剪后的视口坐标。

**参数说明：**

* `viewportTransform` 函数的参数：
* `world_points`: 世界坐标
* `viewport`: 视口边界
* `viewportClip` 函数的参数：
* `viewport_points`: 视口坐标
* `viewport`: 视口边界

**表格：投影类型比较**

| 特征 | 正交投影 | 透视投影 |
|---|---|---|
| 深度感 | 无 | 有 |
| 计算复杂度 | 简单 | 复杂 |
| 形状和比例 | 保留 | 可能扭曲 |
| 人眼视角 | 不接近 | 接近 |

**Mermaid流程图：投影与视口**

graph LR
subgraph 投影
    正交投影 --> 正交投影图像
    透视投影 --> 透视投影图像
end
subgraph 视口
    视口变换 --> 视口坐标
    视口裁剪 --> 裁剪后的视口坐标
end

# 4. MATLAB三维图形绘制实践

### 4.1 三维曲面与网格绘制

#### 4.1.1 曲面绘制

**surf() 函数**用于绘制三维曲面，它接受两个矩阵作为输入：x 和 y，表示曲面的 x 和 y 坐标，以及一个矩阵 z，表示曲面的 z 坐标。

% 定义 x、y 和 z 坐标
x = linspace(-2, 2, 50);
y = linspace(-2, 2, 50);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
Z = X.^2 + Y.^2;

% 绘制曲面
figure;
surf(X, Y, Z);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('三维曲面');

**参数说明：**

* `X`：x 坐标矩阵。
* `Y`：y 坐标矩阵。
* `Z`：z 坐标矩阵。

**代码逻辑：**

1. 使用 `linspace()` 函数生成 x 和 y 坐标的网格。
2. 使用 `meshgrid()` 函数创建 x 和 y 坐标的网格。
3. 使用 `X.^2 + Y.^2` 计算 z 坐标。
4. 使用 `surf()` 函数绘制曲面。
5. 设置 x、y、z 轴标签和标题。

#### 4.1.2 网格绘制

**mesh() 函数**用于绘制三维网格，它接受三个矩阵作为输入：x、y 和 z，表示网格的 x、y 和 z 坐标。

% 定义 x、y 和 z 坐标
x = linspace(-2, 2, 50);
y = linspace(-2, 2, 50);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
Z = X.^2 + Y.^2;

% 绘制网格
figure;
mesh(X, Y, Z);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('三维网格');

**参数说明：**

* `X`：x 坐标矩阵。
* `Y`：y 坐标矩阵。
* `Z`：z 坐标矩阵。

**代码逻辑：**

1. 使用 `linspace()` 函数生成 x 和 y 坐标的网格。
2. 使用 `meshgrid()` 函数创建 x 和 y 坐标的网格。
3. 使用 `X.^2 + Y.^2` 计算 z 坐标。
4. 使用 `mesh()` 函数绘制网格。
5. 设置 x、y、z 轴标签和标题。

### 4.2 三维光照与阴影

#### 4.2.1 光照模型

MATLAB 提供了多种光照模型，用于模拟光照对三维场景的影响。常用的光照模型包括：

* **Phong 光照模型：**一种局部光照模型，考虑了漫反射、镜面反射和高光反射。
* **Blinn-Phong 光照模型：**Phong 光照模型的改进版本，改进了镜面反射的计算。
* **Lambert 光照模型：**一种简单的光照模型，仅考虑漫反射。

**lighting() 函数**用于设置光照模型和光源。

% 设置光照模型
lighting phong;

% 添加光源
light('Position', [1, 1, 1], 'Style', 'local');

**参数说明：**

* `lighting`：设置光照模型。
* `light`：添加光源。
* `Position`：光源位置。
* `Style`：光源类型。

**代码逻辑：**

1. 使用 `lighting()` 函数设置 Phong 光照模型。
2. 使用 `light()` 函数添加一个局部光源。

#### 4.2.2 阴影计算

MATLAB 提供了多种方法来计算阴影，包括：

* **平面阴影：**一种简单的阴影算法，将光源投影到场景上，并计算物体与投影平面之间的交集。
* **体阴影：**一种更准确的阴影算法，考虑了光源的体积。

**shading() 函数**用于设置阴影类型。

% 设置阴影类型
shading interp;

**参数说明：**

* `shading`：设置阴影类型。
* `interp`：使用插值法计算阴影。

**代码逻辑：**

1. 使用 `shading()` 函数设置插值阴影。

### 4.3 三维场景交互与动画

#### 4.3.1 场景交互

MATLAB 提供了多种方法进行三维场景交互，包括：

* **旋转：**使用 `rotate3d()` 函数旋转场景。
* **平移：**使用 `pan()` 函数平移场景。
* **缩放：**使用 `zoom()` 函数缩放场景。

% 旋转场景
rotate3d on;

% 平移场景
pan on;

% 缩放场景
zoom on;

**参数说明：**

* `rotate3d`：启用场景旋转。
* `pan`：启用场景平移。
* `zoom`：启用场景缩放。

**代码逻辑：**

1. 使用 `rotate3d()` 函数启用场景旋转。
2. 使用 `pan()` 函数启用场景平移。
3. 使用 `zoom()` 函数启用场景缩放。

#### 4.3.2 动画制作

MATLAB 提供了多种方法来创建三维动画，包括：

* **动画函数：**使用 `animate()` 函数创建动画。
* **视频写入：**使用 `VideoWriter` 类写入视频文件。

% 创建动画函数
function animateScene(t)
    % 更新场景
    % ...

    % 渲染场景
    drawnow;
end

% 创建动画
animate(@animateScene, 100);

% 创建视频写入器
writerObj = VideoWriter('animation.avi');
writerObj.FrameRate = 30;

% 打开视频写入器
open(writerObj);

% 渲染场景并写入视频
for i = 1:100
    % 更新场景
    % ...

    % 渲染场景
    drawnow;

    % 写入视频帧
    frame = getframe;
    writeVideo(writerObj, frame);
end

% 关闭视频写入器
close(writerObj);

**参数说明：**

* `animate()`：创建动画函数。
* `VideoWriter`：创建视频写入器。
* `FrameRate`：设置视频帧率。
* `open()`：打开视频写入器。
* `writeVideo()`：写入视频帧。
* `close()`：关闭视频写入器。

**代码逻辑：**

1. 创建一个动画函数 `animateScene()`，用于更新和渲染场景。
2. 使用 `animate()` 函数创建动画。
3. 创建一个视频写入器 `writerObj`。
4. 打开视频写入器。
5. 循环渲染场景并写入视频帧。
6. 关闭视频写入器。

# 5.1 三维数据可视化

### 5.1.1 体数据可视化

体数据可视化用于表示三维空间中具有体积的物体。MATLAB提供了`isosurface`和`volumeviewer`函数来实现体数据可视化。

**`isosurface`函数**

`isosurface`函数根据给定的体数据和等值面值，提取并绘制等值面。

% 创建体数据
[X, Y, Z, V] = peaks(50);

% 定义等值面值
isovalue = 0.5;

% 提取等值面
[F, V] = isosurface(X, Y, Z, V, isovalue);

% 绘制等值面
figure;
patch('Faces', F, 'Vertices', V, 'FaceColor', 'blue', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('等值面可视化');

### 5.1.2 流场可视化

流场可视化用于表示三维空间中流体的运动。MATLAB提供了`streamline`和`quiver3`函数来实现流场可视化。

**`streamline`函数**

`streamline`函数根据给定的速度场，绘制流线。

% 创建速度场
[X, Y, Z] = meshgrid(-1:0.1:1, -1:0.1:1, -1:0.1:1);
u = X;
v = Y;
w = Z;

% 定义起始点
startPoints = [0, 0, 0];

% 绘制流线
figure;
streamline(X, Y, Z, u, v, w, startPoints);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('流线可视化');

**`quiver3`函数**

`quiver3`函数根据给定的速度场，绘制速度矢量。

% 创建速度场
[X, Y, Z] = meshgrid(-1:0.1:1, -1:0.1:1, -1:0.1:1);
u = X;
v = Y;
w = Z;

% 绘制速度矢量
figure;
quiver3(X, Y, Z, u, v, w);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('速度矢量可视化');