提升数值解精度：MATLAB欧拉法进阶技巧

# 1. 欧拉法的基本原理和应用

欧拉法是一种数值解法，用于求解微分方程。其基本原理是将微分方程转化为一系列差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近微分方程的解。欧拉法是一种显式方法，这意味着它仅需要当前时刻的信息来计算下一时刻的解。

欧拉法的具体步骤如下：

1. 将微分方程转化为差分方程：

   y(t + h) = y(t) + h * f(t, y(t))

其中，h 为步长，f(t, y) 为微分方程的右端函数。
2. 迭代求解差分方程：

   for i = 1:n
       y(i + 1) = y(i) + h * f(t(i), y(i))
   end

其中，n 为迭代次数。

# 2. 欧拉法精度提升技巧

欧拉法作为一种显式单步法，其精度有限，为了提高欧拉法的精度，需要采用一些技巧。本章节将介绍两种常见的精度提升技巧：自适应步长算法和Runge-Kutta方法。

### 2.1 自适应步长算法

自适应步长算法是一种动态调整步长的策略，其目的是在保证精度的前提下提高计算效率。欧拉法中，自适应步长算法通常基于局部截断误差（LTE）进行调整。

#### 2.1.1 步长控制策略

自适应步长算法的步长控制策略如下：

- 计算局部截断误差：LTE = h * (y_n+1 - y_n)
- 如果 LTE 小于给定的容差 TOL，则接受当前步长 h
- 否则，减小步长 h，并重新计算 LTE
- 重复上述步骤，直到 LTE 小于 TOL

#### 2.1.2 实现方法和示例

MATLAB 中可以使用以下代码实现自适应步长算法：

function [t, y] = ode_euler_adaptive(f, tspan, y0, TOL)
    h = (tspan(2) - tspan(1)) / 100;  % 初始步长
    t = tspan(1):h:tspan(2);
    y = zeros(length(t), length(y0));
    y(1, :) = y0;
    for i = 1:length(t)-1
        y_n = y(i, :);
        k1 = f(t(i), y_n);
        y_n_1 = y_n + h * k1;
        k2 = f(t(i) + h, y_n_1);
        LTE = h * (k2 - k1);
        if abs(LTE) < TOL
            y(i+1, :) = y_n_1;
        else
            h = h / 2;
            i = i - 1;
        end
    end
end

### 2.2 Runge-Kutta方法

Runge-Kutta方法是一类隐式多步法，其精度比欧拉法更高。Runge-Kutta方法的通用公式如下：

y_{n+1} = y_n + h * \sum_{i=1}^s b_i * k_i

其中，k_i 是 Runge-Kutta公式中的斜率系数，b_i 是权重系数。

#### 2.2.1 Runge-Kutta公式的推导

Runge-Kutta公式的推导基于泰勒展开。对于一阶常微