17. 图的定义、术语和基本概念

# 1. 引言

## 1.1 图的背景和重要性

图是一种重要的数据结构，在计算机科学和其他领域中广泛应用。他们用于模拟和解决各种问题，如社交网络分析、路径规划、网络流量优化等。图的概念源于图论，由欧拉于1735年首次引入。自那时以来，图论已经发展成为一个独立的数学领域，并在计算机科学中得到广泛应用。

图是由节点和边构成的集合。节点可以表示各种实体，如人、地点、物体等，而边则表示这些实体之间的关系。通过节点和边的连接，图可以描述实体之间的相互作用和依赖关系。

## 1.2 本文介绍的内容

本文将介绍图的基本定义、术语和基本概念，描述图的表示方法，以及常见的图遍历算法和处理图的常见问题和算法。文章还将展望图的其他相关领域和进一步研究的建议。

下面将逐一介绍各章节的内容。

# 2. 图的定义和基本术语

图是一种数据结构，由一组节点和一组边组成。节点表示图中的元素，而边表示节点之间的关系。

### 2.1 图的基本定义

图可以用G = (V, E) 来表示，其中 V 是节点的集合，E 是边的集合。节点集合 V 可以为空，即图中可以没有节点；边集合 E 可以为空，即图中没有边。

### 2.2 节点和边的概念

图中的节点也被称为顶点，记作 v。每个节点可以包含一些数据或属性。

图中的边用来连接两个节点，表示节点之间的关系。边可以是有向的或无向的。有向边从一个节点指向另一个节点，通常使用箭头表示；无向边没有方向，通常使用直线表示。

### 2.3 无向图和有向图的区别

无向图是指图中的边没有方向性，可以双向通行。例如，如果节点 A 和节点 B 之间存在一条边，那么可以从 A 到 B，也可以从 B 到 A。

有向图是指图中的边具有方向性，只能按照指定的方向进行通行。例如，如果有一条从节点 A 到节点 B 的有向边，那么只能从 A 到 B，不能从 B 到 A。

在有向图中，从一个节点到达另一个节点的路径称为有向路径。而在无向图中，路径没有方向限制。

以上是图的基本定义和基本术语的介绍。接下来，我们将详细介绍图的表示方法。

# 3. 图的表示方法

在图论中，图的表示方法是非常重要的，它直接影响到对图的操作和算法实现的效率。下面我们将介绍几种常见的图的表示方法。

#### 3.1 邻接矩阵表示法

邻接矩阵是将图的边关系用矩阵来表示的方法。对于有n个顶点的图，我们可以用一个n*n的矩阵来表示。如果顶点i和顶点j之间存在边，则矩阵中(i, j)和(j, i)的位置上分别填上1（对于无向图）或者对应的权重值（对于带权图）。否则填上0或者表示不存在边的特定值。

// Java代码示例
int[][] adjacencyMatrix = new int[n][n];
// 初始化邻接矩阵，略

#### 3.2 邻接表表示法

邻接表是将图的边关系用链表来表示的方法。对于有n个顶点的图，我们可以使用一个长度为n的数组，数组中的每个元素都是一个链表，链